En esta sección realizaremos operaciones entre números reales, con el fin de ejemplificar como funcionan las operaciones entre números reales. En cada caso nos encargaremos de simplificar la expresión efectuando las operaciones correspondientes.

1. \(-(-2+5) \)
   Solución: Podemos sumar primero los números dentro del paréntesis que nos da \(-2+5 = 3\), luego utilizamos las leyes de los signos y obtenemos que \(-(3)=-3\), es decir: \[-(-2+5) = -(3) = 3\] En este ejercicio podemos proceder de diferente manera, primero aplicamos leyes de los signos y luego sumamos:
   \[-(-2+5) = -(-2)-(+5) = 2-5 = -3 \]
2. \(-3+[4-(5-3)]\)
   Solución: Comenzaremos operando desde adentro hacia afuera
   \begin{align} -3+[4-(5-3)] =& -3+[4-(+5)-(-3)] &\text{Aplicando distributividad} \\ =& -3 + [4-5+3] &\text{Aplicando leyes de los signos}\\ =& -3+ 2 = -1 \end{align}
3. \(-3+\{4-2[6-3+4(5-7)]+3\}\)
   Solución:
   \begin{align} -3+\{4-2[6-3+4(5-7)]+3\} &= -3+\{4-2[6-3+4(-2)]+3\}\\ &= -3+\{4-2[6-3+(-8)]+3\} &\text{Aplicamos leyes de los signos}\\ &= -3+\{4-2[6-3-8]+3 \} &\text{Asociamos \(-3\) y \(-8\) y sumamos}\\ &= -3+\{4-2[6-11] +3\}\\ &= -3+\{4-2[-5] +3\} &\text{Aplicamos leyes de los signos}\\ &= -3 + \{4+10 +3\}\\ &= -3 + 17 \\ &= 14 \end{align}
4. \(5-[3-(8-7+1)+(4-3)]\)
   Solución:
   \begin{align} 5-[3-(8-7+1)+(4-3)] &= 5-[3-(8-7+1)+1]\\ &= 5-[3-(+2)+1] &\text{Aplicamos leyes de los signos}\\ &= 5 -[3-2+1]\\ &= 5-[+2] &\text{Aplicando leyes de los signos}\\ &=5-2 \\ &=3 \end{align}
5. \(\frac{3\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{-2+\frac{1}{3}}+ \frac{\frac{1}{4}}{-1-\frac{2}{3}}\)
   Solución: Comenzaremos por reducir los denominadores y numeradores.
   Primero vamos a reducir \(3\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\) utilizando la definición de fracciones mixtas y la suma de enteros y racionales, con lo que obtenemos que:
   \begin{align} 3\frac{1}{2}+\frac{2}{3} &= 3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3} &\text{Definición de fracciones mixtas}\\ &= \frac{3}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3} &\text{Suma de entero y racional}\\ &= \frac{3\cdot 2 +1\cdot 1}{1\cdot 2} + \frac{2}{3}\\ &= \frac{7}{2}+\frac{2}{3}\\ &= \frac{7\cdot 3+ 2\cdot 2}{2\cdot 3}\\ &= \frac{25}{6} \end{align}
   Por otro lado suma de enteros y racionales se tiene que
   \begin{align} -2+\frac{1}{3} &= \frac{-2}{1} + \frac{1}{3} &\text{Suma de entero y racional} \\ &= \frac{-2\cdot 3+1\cdot 1}{1\cdot 3} \\ &= \frac{-6+1}{3} \\ &= -\frac{5}{3} \end{align}
   Además
   \begin{align} -1-\frac{2}{3} &= \frac{-1}{1} - \frac{2}{3} &\text{Suma de entero y racional} \\ &= \frac{-1\cdot 3-1\cdot 2}{1\cdot 3} \\ &= \frac{-3-2}{3} \\ &= -\frac{5}{3} \end{align}
   Una vez esto y utilizando podemos reescribir la operación inicial como sigue
   \begin{align} \frac{3\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{-2+\frac{1}{3}}+ \frac{\frac{1}{4}}{-1-\frac{2}{3}} &= \frac{\frac{25}{6}}{-\frac{5}{3}} + \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{5}{3}} &\text{Leyes de los signos}\\ &= -\frac{\frac{25}{6}}{\frac{5}{3}} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{3}} \end{align}
   A continuación aplicaremos suma de fracciones y división de fracciones:
   \begin{align} -\frac{\frac{25}{6}}{\frac{5}{3}} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{3}} &= -\frac{3\cdot 25}{5\cdot 6} - \frac{3\cdot 1}{4\cdot 5} &\text{Por definición d división de fracciones} \\ &=-\frac{75}{30} - \frac{3}{20}\\ &= \frac{-75\cdot 20-30\cdot 3}{30\cdot 20}\\ &= \frac{-1500-90}{600}\\ &= -\frac{1590}{600} \end{align}
   Por último podemos simplificar la fracción y finalizamos con que $$\frac{3\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{-2+\frac{1}{3}}+ \frac{\frac{1}{4}}{-1-\frac{2}{3}} = -\frac{53}{20}$$
6. \(\frac{-1-\frac{1}{2}}{-2+\frac{3}{4}} - \frac{5\div \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{4}-\frac{3}{2}}\)
   Solución:
   \begin{align} \frac{-1-\frac{1}{2}}{-2+\frac{3}{4}} - \frac{5\div \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{4}-\frac{3}{2}} &= \frac{{\color{blue}{-\frac{1}{1}}}-\frac{1}{2}}{{\color{blue}{-\frac{2}{1}}}+\frac{3}{4}} - \frac{{\color{blue}{\frac{5}{1}}}\div\left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{4}-\frac{3}{2}} &\text{Forma racional de un entero}\\ &= \frac{\color{blue}{\frac{(-1)(2)-(1)(1)}{(1)(2)}}}{\color{blue}{\frac{(-2)(4)+(1)(3)}{(1)(4)}}} - \frac{\frac{5}{1}\div \left(-\frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{\frac{(7)(2)-(4)(3)}{(4)(2)}}} &\text{Definición de suma en los racionales}\\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5}{4}}-\frac{\frac{5}{1}\div \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{2}{8}}\\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5}{4}}-\frac{\color{blue}{\frac{(5)(2)}{(1)(-1)}}}{\frac{2}{8}} &\text{Definición de división de fracciones}\\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5}{4}}-\frac{\frac{10}{-1}}{\frac{2}{8}}\\ &= \color{blue}{\frac{(-3)(4)}{(2)(-5)}} - \color{blue}{\frac{(10)(8)}{(-1)(2)}} &\text{Definición de división de fracciones}\\ &= \frac{-12}{-10}-\frac{80}{-2}\\ &= {\color{blue}{\frac{12}{10}}}-\frac{80}{-2} &\text{Leyes de los signos en los racionales}\\ &= \color{blue}{\frac{(12)(-2)-(10)(80)}{(10)(-2)}} &\text{Definición de resta de fracciones}\\ &= \frac{-24-800}{-20} = \frac{-824}{-20}\\ &= \frac{824}{20} &\text{Leyes de los signos}\\ &= \frac{206}{5} &\text{Simplificando}\\ \end{align} Así, concluimos que:

   \[\frac{-1-\frac{1}{2}}{-2+\frac{3}{4}} - \frac{5\div \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{4}-\frac{3}{2}}= \frac{206}{5}\]
7. \(\frac{\left(3-1\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{2-5}}{\left(-5+\frac{1}{2} \right)\div (-1-1)} \)
   Solución:
   \begin{align} \frac{\left(3-1\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{2-5}}{\left(-5+\frac{1}{2} \right)\div (-1-1)} &= \frac{\left(3-1\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{\color{blue}{-3}}}{\left(-5+\frac{1}{2} \right)\div \color{blue}{-2}} &\text{Suma entre enteros}\\ &= \frac{\left(3-\left({\color{blue}{1+\frac{2}{3}}}\right)\right) + \frac{1}{-3}}{\left(-5+\frac{1}{2} \right)\div (-2)} &\text{Definición de fracciones mixtas}\\ &= \frac{\left( {\color{blue}{\frac{3}{1}}}-\left( {\color{blue}{\frac{1}{1}}}+\frac{2}{3} \right)\right)+\frac{1}{-3}}{\left( -{\color{blue}{\frac{5}{1}}}+\frac{1}{2}\right) \div \left({\color{blue}{\frac{-2}{1}}}\right)} &\text{Forma racional de un entero}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{1} -{\color{blue}{\frac{(1)(3)+(1)(2)}{(1)(3)}}}\right)+\frac{1}{-3}}{\left( {\color{blue}{\frac{(-5)(2)+(1)(1)}{(1)(2)}}}\right) \div \left(\frac{-2}{1}\right)} &\text{Definición de suma de racionales}\\ &= \frac{\left(\frac{3}{1}-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{-3}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}}\\ &= \frac{{\color{blue}{\frac{(3)(3)-(1)(5)}{(1)(3)}}}+\frac{1}{-3}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}} &\text{Definición de resta de racionales}\\ &= \frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{-3}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}} \\ &= \frac{\color{blue}{ \frac{(4)(-3)+(3)(1)}{(3)(-3)}}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}}&\text{Definición de suma de racionales}\\ &= \frac{\frac{-9}{-9}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}}\\ &= \frac{\color{blue}{\frac{9}{9}}}{\frac{-9}{2}\div \frac{-2}{1}}&\text{Leyes de los signos en racionales} \\ &= \frac{\frac{9}{9}}{\color{blue}{\frac{(-9)(1)}{(2)(-2)}}} &\text{Definición de división entre racionales}\\ &= \frac{\frac{9}{9}}{\frac{9}{4}}\\ &= \color{blue}{\frac{(9)(4)}{(9)(9)} } &\text{Definición de división entre racionales}\\ &= \frac{36}{81} \\ &= \frac{4}{9} &\text{Simplificando} \end{align} Así, concluimos que: $$ \frac{\left(3-1\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{2-5}}{\left(-5+\frac{1}{2} \right)\div (-1-1)} = \frac{4}{9} $$
8. \(\frac{2-\frac{1}{5}}{-3+3\frac{1}{2}}\div \frac{1\frac{1}{2}+3}{-2-1\frac{1}{2}} \)
   Solución: \begin{align} \frac{2-\frac{1}{5}}{-3+3\frac{1}{2}}\div \frac{1\frac{1}{2}+3}{-2-1\frac{1}{2}} &= \frac{2-\frac{1}{5}}{-3+\left(3+\frac{1}{2}\right)}\div \frac{\left(1+\frac{1}{2}\right) +3}{-2-\left(1+\frac{1}{2}\right)} &\text{Definición de fracciones mixtas}\\ &= \frac{\frac{2}{1}-\frac{1}{5}}{-\frac{3}{1}+\left(\frac{3}{1}+\frac{1}{2}\right)}\div \frac{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right) +\frac{3}{1}}{-\frac{2}{1}-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)} &\text{Forma racional de un entero}\\ &= \frac{\frac{2}{1}-\frac{1}{5}}{-\frac{3}{1}+\frac{7}{2}}\div \frac{\frac{3}{2} +\frac{3}{1}}{-\frac{2}{1}-\frac{3}{2}} &\text{Definición de suma de racionales}\\ &=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{2}}\div \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{7}{2}} &\text{Definición de suma de racionales}\\ &= \frac{18}{5}\div \frac{-9}{7} &\text{Definición de división entre racionales}\\ &= -\frac{14}{5} &\text{Definición de división entre racionales} \end{align}
9. \(\frac{\left(2-\frac{1}{3}\right)\div \left(1\frac{1}{2}+3\right)}{\left(-3+3\frac{1}{2} \right)\left(-2-1\frac{1}{2} \right)} \)
   Solución: \(\textit{Se deja como ejercicio al lector.}\)
10. \(\frac{5\div \left(\frac{1}{2}-4\frac{1}{3}\right)}{\left(2-\frac{4}{3} \right)\left(-5\frac{1}{2}+3 \right)}-\frac{3\div \left(\frac{-3}{2} \right)}{\left(\frac{4}{5}\div\frac{3}{2}\right)+2} \)
    Solución: \(\textit{Se deja como ejercicio al lector.}\)

Dejamos como ejercicio al lector los últimos dos ejercicios con el fin del que el lector pueda practicar lo aprendido.