Suma y resta de fracciones o racionales

Hemos visto como se definen los números racionales o fraccionarios, nos aprender a operar entre ellos, nos gustaría que tuviera las mismas operaciones que los enteros, ya que podemos expresar a lo enteros como racionales, afortunadamente se puede y las operaciones en los racionales recaen totalmente en las operaciones de los números enteros, sin embargo no operan de la misma forma. Comencemos por definir la suma y resta en los racionales.

Suma de fracciones

Definimos la suma entre los racionales(o fracciones) como sigue: $$+:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$$ $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \longmapsto \frac{ad+bc}{bd}$$ La suma de dos número racionales es un racional, el numerador es la suma del producto del numerador del primero con el denominador del segundo y del producto del denominador del primero por el numerador del segundo y el denominador es el producto de lo denominadores, pero esto es un poco largo y bochornoso, por lo que existe el método de "la carita feliz" que ayudará a resumir y recordar como sumar racionales:

Veamos alguno ejemplos:

1. \( \frac{17}{5}+\frac{2}{10} = \frac{(17\cdot 10) + (5\cdot 2)}{5\cdot 10} = \frac{170 + 10}{50} = \frac{180}{50} \)
2. \( \frac{1}{9}+\frac{15}{6} = \frac{(1\cdot 6)+(9\cdot 15)}{9\cdot 6} = \frac{6+135}{54} = \frac{141}{54} \)
3. \( \frac{17}{21}+\frac{25}{19} = \frac{(17\cdot 19)+(21\cdot 25)}{21\cdot 19} = \frac{323+525}{399} = \frac{848}{399} \)

Particularidades de la suma de fracciones

Suma de fracciones con el mismo denominador
Cuando tenemos dos fracciones o números racionales con el mismo denominador dejamos fijo el denominador y sumamos los denominadores, es decir: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$ Por ejemplo:

1. \(\frac{1}{5}+\frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5}\)
2. \(\frac{12}{21} +\frac{3}{21} = \frac{12+3}{21} = \frac{15}{21}\)
3. \(\frac{20}{17}+\frac{120}{17} = \frac{20+120}{17}=\frac{140}{17} \)

Suma de un entero y una fracción
Sabemos que a un número entero \(z\) lo podemos expresar por \(\frac{z}{1}\), entonces la suma estará dada por $$\frac{z}{1}+\frac{c}{b} = \frac{z\cdot b+1\cdot c}{1\cdot b}=\frac{z\cdot b+c}{b} $$ Por ejemplo:

1. \(3+\frac{1}{3} = \frac{3\cdot 3+1}{3} = \frac{10}{3}\)
2. \(1+\frac{1}{1000} = \frac{1\cdot 1000 +1}{1000} = \frac{1001}{1000}\)

Propiedades

Sean \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}\) números racionales, las propiedades de la suma en los números racionales son las siguientes:

1. Cerradura: La suma de dos números racionales siempre es otro número racional.
2. Conmutatividad: La suma de dos racionales es invariante bajo el orden, es decir: $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d}+ \frac{a}{b}$$
3. Neutro: El neutro aditivo es el \(0\) y cumple que $$\frac{a}{b}+0 = \frac{a}{b}$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\) para todo número racional.
4. Asociativa: El orden de las sumas parciales en una operación con más de dos sumandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos sumar dos números racionales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres sumandos, es necesario sumar primero dos de ellos y luego sumar el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una suma con cualquier número de sumandos.
5. Inverso: Para cada \(\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}\) existe \(\frac{c}{d}\in \mathbb{Q} \) tal que \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=0\)

Resta de fracciones

Definimos la resta entre los racionales(o fracciones) como sigue: $$-:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$$ $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d} \longmapsto \frac{ad-bc}{bd}$$ La resta de dos número racionales es un racional, el numerador es la resta del producto del numerador del primero con el denominador del segundo y del producto del denominador del primero por el numerador del segundo y el denominador es el producto de lo denominadores, de hecho podemos ver la resta como una suma: $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\frac{-c}{d} $$

Fracciones mixtas

A los racionales los podemos escribir de una forma muy característica llamada fracciones mixtas que son de la forma \(z\frac{a}{b}\) donde \(z\) es un número entero. Una fracción mixta la podemos traducir en la suma de un entero y una fracción como sigue: $$z\frac{a}{b} = z + \frac{a}{b} = \frac{z\cdot b+a}{b}$$ Por ejemplo: \(3\frac{1}{2} = 3+ \frac{1}{2} = \frac{3\cdot 2 +1}{2}= \frac{7}{2}\).
Más adelante exploraremos más operaciones entre fracciones.