Con anterioridad presentamos la igualdad o equivalencia de racionales, recordemos la definición: dados \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) dos números racionales, decimos que \(\frac{a}{b}\) es igual o equivalente a \(\frac{c}{d}\) siempre que \(\frac{c}{d} \) es igual que \(\frac{r\cdot a}{r\cdot b}\) donde \(r\) es un entero distinto de cero, es decir, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \text{siempre que} \quad \frac{c}{d} = \frac{r\cdot a}{r\cdot b}$$ Ahora que ya sabemos multiplicar fracciones podemos darnos cuenta que hay tantas fracciones equivalentes como números enteros pues \(r\) puede tomar cualquier número, nuestro objetivo es encontrar la expresión más simple de una fracción, para ello comencemos por definir algunos conceptos.

Decimos que una fracción o número racional es irreducible siempre que el numerador y denominador sean primos entre sí, por ejemplo, los racionales \(\frac{13}{14}\) y \(\frac{17}{23}\) son racionales irreducibles ya que \(13 \text{ y } 14\) son primos relativos al igual que \(17 \text{ y } 23\).

Vamos a presentar dos métodos que en esencia son el mismo, aunque el segundo método es más intuitivo y fácil de recordar.

Método 1:

1. Descomponer en factores primos el numerador y denominador
2. Eliminamos lo factores comunes entre el denominador y numerador.

Simplifica las siguientes fracciones: \(\frac{621}{630}, \frac{90}{54}\) y \(\frac{13}{5} \)

1. \[\frac{621}{630} = \frac{3\cdot 3\cdot 3 \cdot 23}{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 \cdot 7}=\frac{3}{3}\cdot \frac{3\cdot 3 \cdot 23}{2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7} \]\[ \hspace{1.3em}= \frac{3\cdot 3\cdot 3 \cdot 23}{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 \cdot 7} = \frac{3}{3}\cdot \frac{3 \cdot 23}{2\cdot 5 \cdot 7}\] \[=\frac{3 \cdot 23}{2\cdot 5 \cdot 7} = \frac{69}{70}\hspace{4.5em}\]
2. \[ \frac{90}{54} = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 3\cdot 3} = \frac{3}{3}\cdot \frac{2\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 3} \] \[\ =\frac{2\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 3} = \frac{3}{3} \cdot \frac{2\cdot 5}{2\cdot 3} \] \[ = \frac{2\cdot 5}{2\cdot 3} = \frac{2}{2}\cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \]
3. No hace falta simplificar \(\frac{13}{5}\) pues estos dos son primos y en consecuencia son primos relativos.

Método 2:
1. Encontramos el menor número primo que divida al denominador y al numerador.
2. Dividimos entre dicho divisor al numerador y denominador con lo que obtenemos una nueva fracción equivalente.
3. Regresamos al paso 1, pero se lo aplicamos a la nueva fracción equivalente.
4. Terminamos cuando el denominador y numerados sean primos relativos.

Simplifica las siguientes fracciones: \(\frac{621}{630}\text{ y }\frac{90}{54}\).

1. Encontramos el menor número primo que divida a \(621\text{ y } 630\) que es \(3\), entonces dividimos entre \(3\) a \(621\text{ y } 630\), con lo que obtenemos la fracción equivalente \(\frac{207}{210}\).
   
   Encontramos el menor número primo que divida a \(207\text{ y } 210\) que es \(3\), entonces dividimos entre \(3\) a \(207\text{ y } 210\), con lo que obtenemos la fracción equivalente \(\frac{69}{70}\).
   
   Terminamos la simplificación pues \(69\text{ y } 70\) son primos relativos, con lo que obtenemos que la fracción simplificada es \(\frac{69}{70}\).
2. Encontramos el menor número primo que divida a \(90\text{ y } 54\) que es \(2\), entonces dividimos entre \(2\) a \(90\text{ y } 54\), con lo que obtenemos la fracción equivalente \(\frac{45}{27}\).
   
   Encontramos el menor número primo que divida a \(45\text{ y } 27\) que es \(3\), entonces dividimos entre \(3\) a \(45\text{ y } 27\), con lo que obtenemos la fracción equivalente \(\frac{15}{9}\).
   
   Encontramos el menor número primo que divida a \(15\text{ y } 9\) que es \(3\), entonces dividimos entre \(3\) a \(15\text{ y } 9\), con lo que obtenemos la fracción equivalente \(\frac{5}{3}\).
   
   Terminamos la simplificación pues \(5\text{ y } 3\) son primos relativos, con lo que obtenemos que la fracción simplificada es \(\frac{5}{3}\).

Ahora, debe surgir una duda y es ¿por qué dividir entre el mismo número el numerador y denominador de un número racional hace que se preserve la equivalencia o igualdad de fracciones?
La respuesta es simple, sabemos que podemos expresar a \(1\) como: \( 1= \frac{a}{a} \) para cualquier \(a\) distinto de \(0\), además, una división se puede expresar como una fracción, es decir, \(a\div b = \frac{a}{b}\), entonces, tomemos un racional \(\frac{a}{b}\), dividamos el numerador y denominador entre un número \(c\), veamos que \(\frac{a\div c}{b\div c} = \frac{a}{b}\), entonces

Esto nos dice que, el dividir por el mismo número el numerador y denominador no afecta la igualdad de fracciones, ya que lo que se hace es solo multiplicar por un 1. Podemos ver como funciona con \(\frac{5}{3} \text{ y } \frac{10}{6}\), entonces

Con esto concluimos el tema de simplificación de fracciones.