Números racionales \(\mathbb{Q}\)

Con anterioridad repasamos la división de números enteros, se definieron los dos tipos de divisiones: exacta e inexacta, sabemos que hacer una división exacta no siempre es posible ya que muchas veces resulta que no existe ningún entero que multiplicado por el divisor dé el dividendo(por ejemplo, la división de \(7\) entre \(9\) no es exacta por que no hay un número entero que multiplcado por \(9\) dé \(7\)), entonces, ¿cómo podemos expresar estas divisiones?, se puede expresar por medio de un número racional \(\frac{7}{9}\), asimismo podemos expresar la división de \(5\) entre \(6\) y \(2\) entre \(3\) como \(\frac{5}{6}\) y \(\frac{2}{3}\). Así, definiremos a los números racionales o fraccionarios como sigue: $$\mathbb{Q} = \left\lbrace \frac{a}{b} \colon a,b \in \mathbb{Z} \text{ y } b \text{ distinto de cero} \right\rbrace$$ es decir, son los números de la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a,b\) son números enteros con \(b\) no cero, al número \(a\) le llamamos numerador y al número \(b\) se le llama denominador, como se ve en la siguiente imagen:

Una observación importante es que dado un numero entero \(z\), lo podemos expresar como un número racional dado por \(\frac{z}{1}\). Usualmente en la literatura referente al tema, los autores afirman que \(\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\), es decir, que los enteros estan contenidos en los números racionales, o en otras palabras, los enteros son números racionales, lo cual es intuitivamente correcto y para nuestro estudio es más útil, pero debe quedar claro que estrictamente hablando un número entero no es un número racional ya que estamos hablando de estructuras distintas.
Dentro de los numeros racionales podemos encontrar dos tipos:

Propios:

Son aquellos en los que el numerador es menor que el numerador, por ejemplo: \(\frac{10}{15}, \frac{20}{77}, \frac{2000}{33333}\).

Impropios:

Son aquellos en los que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo: \(\frac{9}{7}, \frac{1000}{3}, \frac{27}{5}. \)

Anteriormente, vimos las leyes de los signos en los números enteros, también tendremos una versión para los números racionales .

Leyes de los racionales para números racionales

Dados dos números enteros \(a,b\) se cumple que:

1. $$\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}$$
2. $$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$

En general, se ocupará la forma \(\frac{-a}{b}\) del inciso \(2.\), esto es para evitar confuciones a la hora de comenzar a operar entre racionales.

Orden en los número racionales

Como los números naturales y enteros nos gastaría saber cuando un número racional es menor o igual a otro, pero ¿cómo lo hacemos en los racionales?, muy fácil, tomemos cuatro números enteros \(a,b,c,d\) donde \(b,d\) son distintos de \(0\), decimos que:

1. \(\frac{a}{b}\) es menor que \(\frac{c}{d}\) siempre que \(a\cdot d \) es menor que \(b\cdot c\), es decir, $$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\quad \text{siempre que} \quad a\cdot d < b\cdot c$$
2. \(\frac{a}{b}\) es igual o equivalente a \(\frac{c}{d}\) siempre que \(\frac{c}{d} \) es igual que \(\frac{r\cdot a}{r\cdot b}\) donde \(r\) es un entero distinto de cero, es decir, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \text{siempre que} \quad \frac{c}{d} = \frac{r\cdot a}{r\cdot b}$$
3. \(\frac{a}{b}\) es mayor que \(\frac{c}{d}\) siempre que \(a\cdot d \) es mayor que \(b\cdot c\), es decir, $$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\quad \text{siempre que} \quad a\cdot d > b\cdot c$$

Ejemplos:

1. ¿\( \frac{8}{9}\) es menor que \(\frac{12}{11}\)?
   Sí, comprobémoslo: $$\frac{8}{9}<\frac{12}{11}\quad \text{siempre que} \quad 8\cdot 11 < 9\cdot 12 $$ lo cual sucede ya que como \(88=8\cdot 11\) y \(9\cdot 12=108 \), es cierto que \(88<108\).
2. ¿\( \frac{3}{2}\) es igual que \(\frac{33}{22}\) y \(\frac{5}{4}\) ?
   
   • \(\frac{3}{2}\) es igual que \(\frac{33}{22}\) ya que \(\frac{33}{22}\ = \frac{11\cdot 3}{11\cdot 2}\), es decir, en nuestra definición estamos tomando \(r=11\).
   • \(\frac{3}{2}\) no es igual(ó equivalente a) que \(\frac{5}{4}\), observamos los denominadores de ambos números racionales, que son \(2\) y \(4\), notemos que \(4=2\cdot 2 \), entonces necesariamente deberia suceder que \(5 = 2\cdot 3\), lo cual no sucede, entonces concluimos que no son iguales.
3. ¿\(\frac{9}{2}\) es mayor que \(\frac{90}{23}\)?
   Sí, comprobémoslo: $$\frac{9}{2}>\frac{90}{23}\quad \text{siempre que} \quad 9\cdot 23 > 2\cdot 90 $$ lo cual sucede ya que como \(9\cdot 23 = 207\) y \(2\cdot 90 =180\), es cierto que \(207>180\).