Hemos visto hasta ahora como se multiplican fracciones, ahora veremos como se dividen fracciones, a partir de esto daremos una forma explicita del inverso multiplicativo, que hemos mencionado desde hace varios temas, esto es muy fuerte y nos ahorra mucho trabajo a la hora de operar con números. Por otra parte hemos definido las potencias de números naturales, enteros y racionales, cuyos exponentes son números naturales, con la expresión explícita del inverso multiplicativo por fin podremos calcular potencias donde los exponentes son números enteros negativos.

Dadas dos fracciones o racionales \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\), definimos la división como: $$\div : \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q} $$ $$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d} \longmapsto \frac{ad}{bc}$$ Otra forma en la que podemos expresar la división de fracciones es la siguiente: $$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$$ Esta forma es la más fácil de recordar y de hecho aquí entra en juego la famosísima "Ley del Sandwich" que en esencia es multiplicar los extremos y ponerlo en el numerador y multiplicar los del centro y se pone en el denominador, cabe mencionar que también es llamada la ley de la oreja, la siguiente imagen describe el procedimiento:

1. \(\frac{4}{5}\div \frac{17}{15} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{17}{15}} = \frac{4\cdot 15}{5\cdot 17} = \frac{60}{85}\)
2. \(\frac{1}{2}\div 3 = \frac{1}{2}\div \frac{3}{1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{1}}= \frac{1\cdot 1}{2\cdot 3} = \frac{1}{6} \)

Ya hemos visto como calcular números con potencias positivas, que básicamente es multiplicar cierto número de veces el mismo número, pero surge una pregunta, ¿existen números con potencias negativas?, la respuesta es que sí pero se define de forma distinta, para esto consideramos un numero \(q\), entonces: $$(q)^{-n} = \frac{1}{q^n}$$ Debemos notar que \(n\) es un entero positivo y por ende \(-n\) es entero negativo. A partir de esta definición podemos encontrar explícitamente el inverso multiplicativo, el cual se obtiene sustituyendo \(n\) por \(1\), es decir, definimos explícitamente el inverso multiplicativo como: $$q^{-1}= \frac{1}{q}$$

1. Inverso multiplicativo de un entero
   En este caso no hay mas que hacer ya que dado un número \(z\) distinto de 0 se cumple que $$z\cdot \frac{1}{z} = \frac{z}{1}\cdot \frac{1}{z} = \frac{z\cdot 1}{1\cdot z} = \frac{z}{z}= 1$$ Con lo que se tiene que el inverso multiplicativo de \(z\) denotado por \(z^{-1}\) es \(\frac{1}{z}\).
2. Inverso multiplicativo de un racional
   Consideremos un número racional \(\frac{a}{b}\), entonces por lo anterior el inverso de \(\frac{a}{b}\) es: $$\left(\frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{a}{b}} = \frac{1\cdot b}{1\cdot a} =\frac{b}{a}$$ Podemos corroborar que \(\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} = 1\), es decir: $$\frac{a}{b}\cdot \left(\frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} = \frac{ab}{ab} = 1$$ Con lo que concluimos el inverso multiplicativo de un raciones \(\frac{a}{b}\) es \(\frac{b}{a}\).