Potencias
Con anterioridad hemos visto que es elevar a cierta potencia un número, que básicamente es multiplicar cierta cantidad de veces el mismo número entre sí, hasta el momento y con la teoría desarrollada, solo podemos tener exponentes que sean número racionales, por el momentos solo exploraremos los exponente reales, aquellos que son racionales puros, es decir, que no son enteros, le llamamos radicales que lo veremos próximamente, además exploraremos las leyes de los exponentes.
Comencemos por definir la exponenciación o potenciación: $$\cdot^{.} : \mathbb{R}\times \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$$ $$(x,n) \longmapsto (x)^n$$ $$(x,0) \longmapsto 1$$ La definición se traduce en lo siguiente:
- Si \(n\) es un entero positivo entonces elevar un número a la \(n\) es multiplicar \(n\)-veces el mismo número por si mismo, es decir : $$(x)^n = \underbrace{x\cdot x\ldots x\cdot x}_{n-\text{veces}}$$
- Si \(-n\) es un entero negativo entonces elevar un número a la \(-n\) es multiplicar \(n\)-veces el mismo número por si mismo y dividir \(1\) por el resultado, es decir : $$(x)^{-n} = \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\ldots x\cdot x}_{n-\text{veces}} } = \frac{1}{x^n}$$
Esta es un operación que utiliza fuertemente la multiplicación y las leyes de los signos, cuando un entero es positivo podemos simplemente omitir los paréntesis, es decir, escribir \(x^n\), en lugar de \((x)^n\).
- \(x^0 =1\) y \(x^1=x\)
- Debe queda claro que \((-x)^2\) no es lo mismo que \(-x^2\) para todo entero distinto de cero. Veamos un ejemplo: \((-2)^2 = (-2)\cdot (-2) = 4\) utilizando leyes de los signos y \(-2^2 =-(2^2) =-(2\cdot 2)=-4\) que claramente no son iguales.
A continuación presentamos las leyes de los exponentes en los números reales.
Leyes de los exponentes\begin{align} &x^0 = 1 \hspace{5cm} &x^1=x\\ &x^n\cdot x^m = x^{n+m} &\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m} \end{align}