Números reales \(\mathbb{R}\)

Hasta el momento hemos estudiado diversas estructuras de números, los números reales son por excelencia el campo de trabajo de las matemáticas a nivel preparatoria, los reales son un campo ordenado, es decir, cuenta con orden y ciertas propiedades que exploraremos poco a poco.
Definimos a los números reales como cualquier número que sea racional o irracional.
A los reales los podemos ver como una recta gracias a una propiedad llamada densidad, que en pocas palabras nos dice que entre cualesquiera dos números reales podemos encontrar otro número real, un ejemplo de esto seria el promedio de los números.
Los reales cuentan con muchas más operaciones, como es la suma, la resta, el producto, la división, potencias positivas, potencias negativas, potencias racionales y también raíces de números positivos.

Notación:

• \(\mathbb{R}^+\) : es el conjunto de lo números reales positivos.
• \(\mathbb{R}^-\) : es el conjunto de lo números reales negativos.
• \(\mathbb{R}_{ \geq 0}\) : es el conjunto de lo números reales positivos con el cero.
• \(\mathbb{R}_{ \leq 0}\) : es el conjunto de lo números reales negativos con el cero.

Ahora, definiremos la suma y el producto entre números reales y sus propiedades.

Suma en los números reales.

Dados dos números reales \(x\text{ y } y\) definimos la suma de ellos como sigue $$+ : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ $$(x,y) \longmapsto x+y$$

Propiedades:

Sean \(x, y, z\) números reales, las propiedades de la suma en los reales enteros son las siguientes:

1. Cerradura: La suma de dos números reales siempre es otro número reales.
2. Conmutatividad: La suma de dos números reales es invariante bajo el orden, es decir: $$x+y = y+x$$
3. Neutro aditivo: El neutro aditivo es el \(0\) y cumple que $$x+0 = x$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(0+x=x\) para todo número real.
4. Asociativa: El orden de las sumas parciales en una operación con más de dos sumandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$(x+y)+z=x+(y+z)$$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos sumar dos números reales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres sumandos, es necesario sumar primero dos de ellos y luego sumar el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una suma con cualquier número de sumandos.
5. Inverso aditivo: Para cada \(x\in \mathbb{R}\) existe un único \(y\in \mathbb{Z} \) tal que \(x+y=0\), en dicho caso denotamos al inverso aditivo de \(x\) como \(-x\).

La resta en los reales es básicamente un suma como ya se había mencionado con anterioridad, es decir: $$x-y = x+(-y)$$ En todo caso no vale la pena ahondar en ello, más adelante lo veremos ejemplos.

La multiplicación(o producto) en los números reales se define como sigue: $$\times : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$(x,y) \longmapsto x\times y $$ La multiplicación(o producto) también suele denotarse por \(x\cdot y\) ó \((x)(y)\).

Propiedades:

Sean \(x, y, z\) números enteros, las propiedades de la multiplicación(o producto) en los números enteros son las siguientes:

1. Cerradura: El producto de dos números enteros es un número entero
2. Conmutatividad: El producto de dos números es invariante bajo el orden, es decir, $$x\cdot y = y\cdot x$$
3. Neutro: El neutro multiplicativo (o del producto) es el 1 y cumple que: $$x\cdot 1 = x$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(1\cdot x=x\) para todo número real.
4. Asociativa: El orden de los productos parciales en una operación con más de dos multiplicandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z) $$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos multiplicar dos números reales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres multiplicandos, es necesario multiplicar primero dos de ellos y luego multiplicar por el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una multiplicación con cualquier número de multiplicandos.
5. Inverso multiplicativo: Para cada número real \(x\) existe \(y\) tal que $$x\cdot y = 1$$ En dicho caso, denotamos al inverso multiplicativo de \(x\) como \(x^{-1}\) y \(x^{-1} = \frac{1}{x}\).

Propiedad distributiva

Esta propiedad es muy útil a la hora de hacer operaciones ya que combina la multiplicación y la suma, la cual se enuncia como sigue:
Dados tres números reales \(x, y, z\) la multiplicación se distribuye bajo la suma, es decir, $$z(x+y) = z\cdot x + z\cdot y$$

La división entre los reales en realidad la podemos expresar como un producto, es decir, $$x\div y = x\cdot \frac{1}{y}$$.

De la misma manera que hemos venido estudiando, las leyes de los signos siguen cumpliéndose, así que las mencionaremos de nuevo con el fin de recordarlas.

Leyes de lo signos

Las leyes de los signos son las siguientes:

1. \((+) (+) = +\), es decir, el resultado de una multiplicación dos números positivos es positivo.
2. \((+) (-) = (-)(+)=-\), es decir, el resultado de una multiplicación entre un número positivo y uno negativo es negativo.
3. \((-)(-)=+\), es decir, el resultado de una multiplicación dos números negativos es positivo.

Más adelante veremos por fin ejemplos de operaciones entre números reales y más operaciones entre los reales.