Números irracionales \(\mathbb{I}\)
En principio, como lo dice su nombre, los números irracionales son aquellos que no son racionales, desde la primaria hemos trabajado con un número irracional muy importante que es \(\pi\), sin embargo, no nos dice mucho esta definición, por lo que primero exploraremos que son las expansión decimales.
DefiniciónUn número decimal, es aquel número que tiene punto decimal, por ejemplo: \(3.5,\text{ }3.1212, \text{ y }.0000111\).
Una observación importante es que a cada número racional le podemos asignar a un número decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador(es general la división no es exacta). Le llamamos expansión decimal a los digitos que se encuentran de lado derecho del punto decimal, hay dos tipos de expansión decimal, la finita que es la que se tiene un número exacto de digitos y la infinita que es la que tiene tantos digitos como números naturales, es decir, nunca se acaban. Nos centraremos en las expansiones decimales que son infinitas y por lo que nos centraremos en ellas, veamos algunos ejemplos:
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\(\frac{1}{3}\) tiene expansión decimal infinita, para encontrarla efectuemos la división, sabemos que \(\frac{1}{3} = 1\div 3\) entonces:
Notamos que vamos a dividir \(10\) entre \(3\) una cantidad infinita de veces, por lo que en la expansión decimal tendremos una cantidad infinita de \(3\), con lo que tenemos que la expansión decimal de \(\frac{1}{3}\) es \(0.3333333333\ldots\)
- La expansión decimal de \(\frac{2}{27}\) es \(0.0740740740\ldots\)
- La expansión decimal de \(\frac{1}{7}\) es \(0.142857142857\ldots \)
Como podemos ver, estas expresiones, se repiten una cantidad fija de digitos, en el ejemplo \(1\) se repete el \(3\), en el ejemplos \(2\) se repite \(740\) y en el tercer ejemplo se repite \(142857\), esto no induce un nuevo concepto.
DefiniciónEl periodo de un número corresponde al número de digitos que siempre se repiten en la expansión decimal de un número.
Por ejemplo, decimos que la expansión decimal de \(\frac{1}{3}\) es de periodo \(1\) ya que solo se repite el \(3\), dicho esto, podemos expresar a \(0.3333333333\ldots\) como \(0.\overline{3}\), lo cual nos dice que hay una infinidad de números \(3\) en esta expansión decimal, por otro lado la expansión decimal de \(\frac{1}{7}\) es de periodo \(6\) ya que se repite \(142857\) una infinidad de veces en la expansión decimal, en cuyo caso podemos expresar a \(0.142857142857\ldots \) como \(0.\overline{142857}\).
Dicho esto, tenemos que cualquier número racional tienen una expresión decimal finita o infinita con periodo definido. Con lo que ya podemos definir de otra manera a los irracionales.
DefiniciónDecimos que un número es irracional si tiene expansión decimal infinita sin periodo.
