División en los enteros

La división es una operación inversa a la multiplicación cuyo objeto, dado el producto de dos factores(dividendo) y uno de los factores(divisor), es hallar otro factor(cociente).

La división en los números enteros se define como sigue: $$\div : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$ $$(m,n) \longmapsto n\div m $$

La definición de esta operación no nos da mucha pista de que es dividir, \(n\div m\) se lee como "\(n\) entre \(m\)", en los enteros \(n\div m\) nos dará dos númeritos, el cociente y el residuo, es decir: $$n\div m = c+r$$ donde \(n\) le llamamos dividendo y a \(m\) le llamamos divisor, \(c\) es el cociente(significa cuántas veces e indica las veces que el dividendo contiene al divisor) y \(r\) el residuo.

Propiedades:

Sean \(n, m, k\) números enteros, las propiedades de la división en los números enteros son las siguientes:

1. Neutro: El neutro de la división es el 1 y cumple que: $$m\div 1 = m$$

Leyes de los signos para la división

1. \((+)\div (+) =+\)
2. \((+)\div (-)=(-)\div (+) = - \)
3. \((-)\div (-)=+ \)

Hay dos tipos de divisiones en los enteros: la exacta y la inexacta, veamos cada una de ellas y algunos ejemplos.

División exacta

Una división es exacta cuando un número multiplicado por divisor el nos da el dividendo, es decir, cuando el dividendo es múltiplo del divisor, en cuanto a nuestra definición, una división es exacta cuando nuestro residuo \(r\) es \(0\).

Ejemplos

1. \(24 \div 3 = 8\)
   Notemos que es exacta ya que \(8\times 3 = 24 \)
2. \(100\div 10 = 10\)
   Es exacta ya que \(10\times 10 = 100\).
3. \(144\div 36 = 4 \)
   Se corrobora que \(4\times 36 = 144\), por lo cual la división es exacta.

División inexacta

Sucede cuando no existe un número entero que multiplicado por el divisor de el dividendo, es decir, cuando el dividendo no es múltiplo divisor, en cuanto a nuestra definición, una división es inexacta cuando el residuo \(r\) es distinto de \(0\).

Ejemplos

1. \(23\div 6\)
   Sabemos que \(23\) no es múltiplo de \(6\), sin embargo podemos efectuar nuesta división, el resultado de la división es \(3\) con residuo de \(5\), es decir:$$(6\times 3)+5 = 23$$
2. \(99\div 15\)
   Sabemos que \(99\) no es múltiplo de \(15\), sin embargo podemos efectuar la división, el resultado es \(6\) con residuo \(9\), es decir: $$(15 \times 6)+9 =99$$
3. \(241\div 29 \) se puede ver que \(241\) no es múltiplo de \(29\), el resultado al efectuar nuestra división es \(8\) con residuo \(17\), es decir, $$(8\times 29)+17=241 $$

Como nota mate-cultural, existe un teorema que formaliza la división en los enteros sin importar si es exacta o inexacta, enunciaremos dicho teorema y daremos algunos ejemplos de su aplicación, sin embargo, corroborar si es verdad rebaza por mucho los conocimiento previos y futuros.

Teorema: Algoritmo de la división

Dados los enteros \(a\) y \(b\) con \(b\) distinto de cero(\(b\neq 0\)) existen enteros unicos \(q\) y \(r\) tales que $$a=b\cdot q +r$$ En caso de que \(r=0\) decimos que \(a\) divide a \(b\).

De hecho en los ejemplos de la división inexacta utilizamos este algoritmo, podemos ponerlas entérminos del teorema, veamos como

1. Sean \(a=23\), \(b=6\), \(q=3\) y \(r=5\) entonces $$a=b\cdot q +r$$ entonces $$23 = 6\cdot 3 +5 $$
2. Sean \(a=100\), \(b=10\), \(q=10\) y \(r=0\) entonces $$a=b\cdot q +r$$ entonces $$100 = 10\cdot 10 +0 $$

\(1.\) corresponde a un división inexacta y \(2.\) corresponde una división exacta.

Por lo regular para el estudio de los enteros solo nos concentraremos en el futuro en divisiones exactas.

Divisor

Decimos que \(m\) es divisor de \(n\) si \(n\div m\) es una división exacta.

De esta definición se desprender que para ser divisor de un número debe ser menor al número que divide.