Números primos
Dentro de los números enteros existen ciertos tipos de números con una importancia muy significativa, entre ellos los números primos, estos números tienen gran importancia en las aplicaciones de las matemáticas como la criptografía.
DefiniciónUn número primo es un número entero mayor que \(1\) que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el \(1\).
Nota:En caso de que un número no sea primo le llamamos número compuesto, es decir, un número compuesto además de ser divisible por el mismo y por \(1\) es divisible por al menos otro número.
Ejemplos- Algunos números primos son: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 37, 97\)
- El número \(14\) es un número compuesto porque, además de ser divsible por \(14\) y por \(1\), es divisible por \(2\) y por \(7\).
- El número \(21\) es un número compuesto porque, además de ser divsible por \(21\) y por \(1\), es divisible por \(7\) y por \(3\).
Decimos que dos números son primos relativos o primos entre sí cuando el único número que divide a ambos es el \(1\).
Por ejemplo, \(7\) y \(12\) son primos relativos ya que como \(7\) es un número primo sus unicos divisores son \(1\) y \(7\) y como \(7\) no divide a \(12\) entonces se tiene que son primos relativos.
De la definición se sigue que dos números que son primos son primos relativos
Descomposición en números primos
Todo número compuesto puede escribirse como producto de números primos.
El sistema más utilizado para descomponer un número en el producto de sus factores primos consiste en escribir el número considerado y trazar a su derech una recta vertical. A la derecha de la recta se escribe el menor de los divisores que sea un número primo.
El cociente obtenido se escribe debajo del número y se vuelve a dividir por el menor de sus divisores que sea un número primo y así sucesivamente.
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Los factores primos de \(55\) son \(5\) y \(11\), para encontarlos vamos a hacernos la pregunta ¿\(2\) es divisor de \(55\)?, la respuesta es no, nos hacemos la misma pregunta para el próximo número primo; es decir, ¿\(3\) es divisor de \(55\)? y la respuesta es nuevamente es que no, proseguimos a hacernos la misma pregunta con el próximo número primo que es \(5\), es decir, ¿\(5\) es divisor de \(55\)? y la respuesta es que si, y el resultado al efectuar la división es \(55\div 5=11 \), entonces nuestro primer factor primo es \(5\), ahora, como \(11\) es primo, \(11\) también es una factor primo de \(55\), en el siguiente esquema se ve el resultado.
Los factores primos son los que se encuentran en lado derecho y se puede corroborrar que \(5\times 11 = 55\).
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Los factores primos de \(129\) son \(43\) y \(3\), se puede corroborar qque \(43\times 3 = 129\)
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Los factores de \(621\) son \(3,3,3,23\), \(621\) no es divisible entre \(2\), pero si entre \(3\) y el resultado al efectuar esta división el resultado es 207, nuevamente no es divisible entre \(2\) pero si entre \(3\), el resultado al efectuar esta división es \(69\), otra vez tenemos que \(69\) no es divisible entre \(2\) pero si entre \(3\), el resultado es igual a \(23\) pero \(23\) ya es primo y también es un factor de \(621\). Los factores primos de \(621\) se pueden ver en la siguiente imagen en el lado derecho.
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Los factores primos de \(630\) son \(2, 3, 3, 5, 7\), los podemos ver en la siguiente imagen:
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Los factores primos de \(996\) son \(2, 2, 3, 83\), los podemos ver en la siguiente imagen:
Hasta quí llegamos con descomposición en factores primes, enseguida presentaremos dos temas que son opcionales, sin embargo son muy interesantes.
Conjetura de GoldbachLo que nos dice esta conjetura se pude reducir a un simple renglón, sin embargo, es uno de los problemas más antiguos no resueltos en la teoría de números, la conjetura es la siguiente:
Todo número par mayor que \(2\) puede escribirse como suma de dos números primos.
A continuación dejamos un vídeo que ilustra muy bien el tema:
Conjetura de Primos gemelos
Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar.
Existe un número infinito de primos \(p\) tales que \(p + 2\) también es primo.
A continuación dejamos un vídeo que ilustra un poco el tema:
