Multiplicación en los enteros

Presentamos con anterioridad a los números enteros, ahora definiremos la multiplicación en los números enteros y sus propiedades.

La multiplicación(o producto) en los números enteros se define como sigue: $$\times : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$ $$(m,n) \longmapsto n\times m $$ Lo que nos dice lo anterior es que la multiplicación(o producto) toma dos enteros \(m, n\) y nos devuelve otro entero \(m\times n\). La multiplicación(o producto) también suele denotarse por \(m\cdot n\) ó \((m)(n)\).

Propiedades:

Sean \(n, m, k\) números enteros, las propiedades de la multiplicación(o producto) en los números enteros son las siguientes:

1. Cerradura: El producto de dos números enteros es un número entero
2. Conmutatividad: El producto de dos números es invariante bajo el orden, es decir, $$m\cdot n = n\cdot m$$
3. Neutro: El neutro multiplicativo (o del producto) es el 1 y cumple que: $$m\cdot 1 = m$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(1\cdot m=m\) para todo número entero.
4. Asociativa: El orden de los productos parciales en una operación con más de dos multiplicandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$(n\cdot m)\cdot k = n\cdot (m\cdot k) $$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos multiplicar dos números enteros a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres multiplicandos, es necesario multiplicar primero dos de ellos y luego multiplicar por el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una multiplicación con cualquier número de multiplicandos.

Podemos ver que la multiplicación en los enteros se define de la misma manera que en los números naturales. Sin embargo, esta definición no nos da una forma de multiplicar enteros, es decir, sabemos como multiplicar enteros positivos, pero ¿cómo multiplicamos a enteros con distinto sentido?, y ¿como lo hacemos si ambos son enteros negativos?, hasta el momento no tenemos herramientas que nos permitan hacer esto, por lo que introducimos el siguiente concepto.

Leyes de lo signos

Las leyes de los signos son las siguientes:

1. \((+) (+) = +\), es decir, el resultado de una multiplicación dos números positivos es positivo.
2. \((+) (-) = (-)(+)=-\), es decir, el resultado de una multiplicación entre un número positivo y uno negativo es negativo.
3. \((-)(-)=+\), es decir, el resultado de una multiplicación dos números negativos es positivo.

Inmediatamente podemos ver lo siguiente: dado \(z\in \mathbb{Z}\)

1. \(+(+z) = z\)
2. \(+(-z) = -(+z) = -z\)
   En la siguientes imágenes las flechas representan el sentido de los números enteros podemos ver que lo que hace el multiplicar por un \(-\), y eso solo cambiar el sentido de un número, por ejemplo, en la siguiente imagen, tomando un entero positivo \(a\), al multiplicarlo por un \(-\) lo convertimos en \(-a\) que es un número entero negativo con sentido opuesto a \(a\).
   
   Por otro lado, si consideramos un entero negativo \(-b\), al multiplicarlo por un \(-\) lo convertimos en \(-(-b)\) que es un número entero positivo con sentido opuesto a \(-b\), de hecho \(-(-b)\) tiene el mismo sentido que \(b\) que es un entero positivo, con lo cual tenemos que \(-(-b)\) es positivo.
   
3. \(-(-z)=z\)
   En las siguientes imágenes las flechas representan el sentido de los números enteros y podemos ver que es lo que hace el multiplicar dos veces por \(-\), y de hecho no cambia el sentido, por ejemplo, en la siguiente imagen, tomando un entero positivo \(a\), al multiplicarlo por \(-\) lo convertimos en \(-a\) que es un número negativo con sentido opuesto a \(a\), al volverlo a multiplicar por \(-\) obtenemos \(-(-a)\) que es un entero positivo con el mismo sentido que \(a\) con lo que obtenemos la igualdad \(a=-(-a) \).
   
   en la siguiente imagen, tomando un entero negativo \(-b\), al multiplicarlo por \(-\) lo convertimos en \(-(-b)\) que es un número positivo con sentido opuesto a \(-b\), al volverlo a multiplicar por \(-\) obtenemos \(-(-(-b))\) que es un entero positivo con el mismo sentido que \(-b\) con lo que obtenemos la igualdad \(-b=-(-(-b)) \).
   

Veámos algunos ejemplos, solo veremos ejemplos donde se utilizan la primera y segunda ley ya que la primera es muy sencilla

1. \((-20)(-12)\) utilizando la tercera ley de los signos, los signos \(-\) se anulan y obtenemos que \((-20)(-12)=(20)(12)\).
2. \((-(-(-32)))\) por la tercera ley de los signos, los signos \(-\) se anulan por pares con lo cual tenemos que \(-(-(-32))=-32\).
3. \((-15)(18)\) por la segunda ley de los signos obtenemos que \((-15)(18)=-[(15)(18)]\).
4. \((14)(-17)\) por la segunda ley de los signos obtenernos que \((14)(-17)=-[(14)(17)] \).

Por último, se puede introducir un concepto más que se refiere a los múltiplos de un número.

Definición:

Los múltiplos de un número \(z\) entero son todos los posibles resultados de multiplicar ese número por todos y cada uno de los números enteros.

Dada esta definición podemos hacer las siguientes observaciones
1. El \(0\) es múltiplo de todos los números enteros.
2. Los múltiplos de un número entero \(z\) son infinitos siempre y cuando \(z\) no es cero, en cuyo caso, \(0\) es el único múltiplo de \(0\).

Más adelante veremos ejemplos y estudiaremos más a fondo el concepto de múltiplo.

Exponenciación

Otra operación importante y muy utilizada es la exponenciación, definida por $$\cdot^{.} : \mathbb{Z}\times \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$$ $$(z,n) \longmapsto (z)^n$$ $$(z,0) \longmapsto 1$$ La definición se ve un poco difícil, pero solo quiere decir que dado un número \(z\) lo tenemos multiplicar \(n-\)veces por si mismo, esta es un operación que utiliza fuertemente la multiplicación y las leyes de los signos, cuando un entero es positivo podemos simplemente omitir los paréntesis, es decir, escribir \(z^n\), en lugar de \((z)^n\).
Usualmente se trabaja con los exponentes \(2\) y \(3\):

• Cuando el exponente es \(2\), se dice que elevamos al cuadrado, es decir, \(z^2\) se lee como \(z\) al cuadrado, por ejemplo: \(10^2=10\cdot 10\), \(1127^2=1127\cdot 1127\) y \(13^2=13\cdot 13\).
• Cuando el exponente es \(3\), se dice que elevamos al cubo, es decir, \(z^3\) se lee como \(z\) al cubo, por ejemplo: \(10^3=10^2\cdot 10= 10\cdot 10\cdot 10\), \(1127^3=1127^2\cdot 1127=1127\cdot 1127\cdot 1127\) y \(13^3=13^2\cdot 13=13\cdot 13\cdot 13\)
• En general, decimos que elevamos a la cuarta, a la quinta, a la sexta, etc..., según sea el caso.

Observaciones:

• \(z^0 =1\) y \(z^1=z\)
• Debe queda claro que \((-z)^2\) no es lo mismo que \(-z^2\) para todo entero distinto de cero. Veamos un ejemplo: \((-2)^2 = (-2)\cdot (-2) = 4\) utilizando leyes de los signos y \(-2^2 =-(2^2) =-(2\cdot 2)=-4\) que claramente no son iguales.