Mínimo común múltiplo(m.c.m)

Anteriormente introdujimos el concepto de múltiplos de un número, recordemos la definición ya que es un concepto fundamental para lo que estudiaremos en esta sección.

Definición:

Los múltiplos de un número entero \(z\) son todos los posibles resultados de multiplicar ese número por todos y cada uno de los números enteros.

Dada esta definición podemos hacer las siguientes observaciones
1. El \(0\) es múltiplo de todos los números enteros.
2. Los múltiplos de un número entero \(z\) son infinitos siempre y cuando \(z\) no es cero, en cuyo caso, \(0\) es el único multiplo de \(0\).

Ejemplo:

1. Los múltiplos de \(10\) son \(\dots, -50, -40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 50, \dots \), podemos ver que para que un número entero sea múltiplo de \(10\) basta multiplicarlo por \(10\).
2. Los múltiplos de \(4\) son \(\dots, -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, \dots \)
3. Los múltiplos de \(17\) son \(\dots, -85, -68, -51, -34, -17, 0, 17, 34, 51, 68, 85, \dots \)

Una vez que introdujimos este concepto ya estamos preparados para centrarnos en el tema de esta entrada

Definición

El mínimo común múltiplo de dos números enteros \(a,b\) es el menor que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos y se expresa por \(m.c.m.(a,b)\) y además es mayor a cero.

Ejemplos:

1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \(9\) y \(6\)?
   \(36\) contiene exactamente a \(9\) y a \(6\); \(18\) también contiene exactamente a \(6\) y a \(9\), ahora, nos preguntamos: ¿hay un número menor que \(18\) que contiene exactamente a \(9\) y a \(6\)?, la respuesta es que no, entonces \(18\) es el m.c.m de \(9\) y \(6\).
2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \(2,3,4\)?
   \(60\) es divisible por \(2,3,4\); \(48\) y \(12\) también. Como no hay número menor que \(12\) que sea divisible entre \(2,3,4\) entonces \(12\) es el m.c.m de \(2,3,4\).
3. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \(8\) y \(4\)?
   como el número \(8\) contiene exactamente a \(8\) y a \(4\) entonces el m.c.m de \(4\) y \(8\) es \(8\).
4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \(8,6,4\)?
   \(8\) contiene exactamente a \(4\) pero no a \(6\), de los múltiplos de \(8\), \(8\times 2 = 16\) pero \(16\) no es múltiplo de \(6\), ahora \(8\times 3=24\) y \(24\) ya es divisible entre \(6\) y \(4\), por lo tanto el m.c.m es \(24\).
5. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \(10,12,15\)? \(15\) no contiene exactamente a los demás, \(15\times 2 =30\), este ya contiene a \(10\) pero no a \(12\), \(15\times 3=45\), este no contiene a los demás, \(15\times 4=60\), \(60\) contiene \(5\) veces a \(12\) y \(6\) veces a \(10\), por lo cual el m.c.m es \(60\).

Otra forma de calcular el mínimo común múltiplo

Para encontar el m.c.m de dos números enteros \(a,b\) se calcula $$m.c.m =\frac{a\times b}{m.c.d(a,b)}$$ es decir, el producto de los números entre su máximo común divisor.