Multiplicación de fracciones o racionales
Anteriormente vimos como se suman y restan fracciones, y como era de esperarse estas operaciones recaen fuertemente en las propiedades de la suma y resta en los números enteros y el comportamiento con el signo de los mismos, de la misma manera pasará para la multiplicación y exponenciación, comencemos:
Multiplicación de fraccionesDadas dos fracciones o números racionales \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d} \), definimos la multiplicación de ellos como sigue: $$\cdot :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$$ $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} \longmapsto \frac{ac}{bd}$$ La multiplicación es un poco más sencilla de recordar ya que multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador y vemos que como dijimos al principio, las operaciones recaen en los enteros.
PropiedadesTomemos los racionales o fracciones \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}\) entonces
- Cerradura: El producto de dos números enteros es un número entero
- Conmutatividad: El producto de dos números es invariante bajo el orden, es decir, $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}$$
- Neutro: El neutro multiplicativo (o del producto) es el 1 y cumple que: $$\frac{a}{b}\cdot 1 = \frac{a}{b}$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(1\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}\) para todo número racional.
- Asociativa: El orden de los productos parciales en una operación con más de dos multiplicandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right)\cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\right)$$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos multiplicar dos números racionales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres multiplicandos, es necesario multiplicar primero dos de ellos y luego multiplicar por el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una multiplicación con cualquier número de multiplicandos.
- Inverso multiplicativo: Para cada número racional \(\frac{a}{b}\) existe un único número racional \(\frac{c}{d}\) tal que $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = 1 = \frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}$$
- \(\frac{12}{7}\cdot \frac{1}{3} = \frac{12\cdot 1}{7\cdot 3} = \frac{12}{21}\)
- \( \left( \frac{5}{6}\cdot\frac{15}{21} \right)\cdot \frac{1}{2} = \frac{5\cdot 15}{6\cdot 21}\cdot \frac{1}{2} = \frac{(5\cdot 15)\cdot 1}{(6\cdot 21)\cdot 2} = \frac{75}{252}\)
Dados tres números racionales \(m, n, k\) la multiplicación se distribuye bajo la suma, es decir, $$m(n+k) = m\cdot n + m\cdot k$$
Ahora que hemos presentado la multiplicación en los números racionales podemos presentar otra operación que en realidad es una particularidad de la multiplicación, esta operación es llamada exponenciación.
ExponenciaciónDado un número racional \(\frac{a}{b}\) y un número natural \(n\), definimos la exponenciación como sigue: $$\mathbb{Q}\times \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n \longmapsto \frac{a^n}{b^n}$$ Se puede verificar que la definición es correcta multiplicando \(n-\)veces la misma fracción.
Truco en matemáticasSabemos desde que estudiamos los números naturales que el \(1\) es el neutro multiplicativo, por lo que es muy útil, debemos notar que a \(1\) lo podemos expresar de muchisímas formas, por ejemplo \(\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \ldots\), en general dado cualquier número \(a\) distinto de \(0\) se cumple que \(1=\frac{a}{a}\), este es el truco, muchas veces nos convendrá multiplicar por un \(1\) pero el \(1\) deberá ser expresado de manera inteligente que tendrá la forma \(\frac{a}{a}\) y ayudará a simplificar las operaciones que próximamente realizaremos.
