Suma y resta en los enteros

La suma en los enteros se define como sigue: $$+ :\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$ $$(m, n) \longmapsto m+n $$Lo que nos dice lo anterior es que la suma toma dos enteros \(m, n\) y nos devuleve otro entero \(m+n\).

Propiedades:

Sean \(n, m, k\) números enteros, las propiedades de la suma en los números enteros son las siguientes:

1. Cerradura: La suma de dos números enteros siempre es otro número entero.
2. Conmutatividad: La suma de dos números enteros es invariante bajo el orden, es decir: $$m+n = n+m$$
3. Neutro: El neutro aditivo es el \(0\) y cumple que $$n+0 = n$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(0+n=n\) para todo número entero.
4. Asociativa: El orden de las sumas parciales en una operación con más de dos sumandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$(n+m)+k=n+(m+k)$$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos sumar dos números enteros a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres sumandos, es necesario sumar primero dos de ellos y luego sumar el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una suma con cualquier número de sumandos.
5. Inverso: Para cada \(n\in \mathbb{Z}\) existe \(m\in \mathbb{Z} \) tal que \(a+m=0\)

Notación

Denotamos por \(-n\) al inverso de \(n\).

Vale la pena aclarar que la relación de ser inverso es simétrica, por ejemplo, tomemos el \(5\), según lo anterior su inverso es \(-5\) y a su vez \(-(-5)\) es inverso de \(-5\) pero como \(-(-5)=5\) por leyes de los signos entonces \(5\) es inverso de \(-5\), es decir, si \(-5\) es inverso de \(5\) también sucede que \(5\) es inverso de \(-5\).
En general, dado un \(z\in \mathbb{Z}\), se cumple que \(-z\) es inverso de \(z\) y \(z\) es inverso de \(-z\).
Veámos algunas imágenes para que quede más claro el concepto:

En la imagen anterior ilustramos a \(3\) y a su inverso \(-3\) y en la siguiente podemos ver a \(-4\) y a su inverso \(4\)

Propiedad distributiva

Dados tres números enteros \(m, n, k\) la multiplicación se distribuye bajo la suma, es decir, $$m(n+k) = m\cdot n + m\cdot k$$

Ejemplos:

En lo que sigue utilizaremos fuertemente las leyes de los signos vistos anteriormente.

1. \(5(13+(-2))=5(13)+5(-2)= 65 +(-10) \)
2. \((-2)(17+(-20))=(-2)(17)+(-2)(-20)=(-34) + 40 \)
3. \((12)(3+4)=(12)(3)+(12)(4)=36+48 \)

Podemos notar que la definición de la suma es idéntica a la definición de la suma de los naturales, al igual que sus propiedades a excepción de los inversos, sin embargo, hay tres posibles casos en los cuales nos podemos encontrar cuando sumamos enteros, que son los siguientes:

1. Suma entre enteros positivos: Esta es la suma usual, se suma como normalmente lo hemos hecho, veámos un ejemplo, \(3+7=10\), lo podemos ver con saltos, primero saltamos tres veces a la derecha del cero, tomando como punto de referencia al cero, una vez dados esos tres saltos llegamos al \(3\), luego, tomando como referencia a \(3\) damos \(7\) brincos más hacia la derecha con lo cual llegaremos a \(10\).
   
2. Suma entre un entero positivo y un entero negativo: en este caso conservaremos el signo del número cuyo valor absoluto es mayor, véamos algunos ejemplos para que quede claro.
   1. \(9+(-6)\)
   Siguiendo lo anterior el valor absoluto de \(9\) es \(9\) y el de \(-6\) es \(6\) por lo cual el valor absoluto de \(9\) es el mayor, entonces el resultado de la suma será con signo \(+\), el resultado de la suma será \(3\), lo podemos corroborar en la siguiente imagen:
   
   podemos pensarlo como saltos, es decir, para llegar al \(9\) daremos \(9\) saltos a partir del cero hacia la derecha y tomando ahora el \(9\) como referencia nos regresamos \(6\) saltos con lo cual llegaremos al \(3\).
   
   2. \((-7)+5\)
   Procediendo de manera similar, el valor absoluto de \(-7\) es \(7\) y el valor absoluto de \(5\) es 5 con lo cual tenemos que el valor absoluto de \(-7\) es mayor y entonces el resultado tendrá signo \(-\), es decir, es negativo, lo podemos corroborar en la siguiente imagen:
   
   También podemos verlo con saltos, daremos \(7\) pasos a la izquierda partiendo del cero, llegaremos al \(-7\), ahora tomando el \(-7\) de referencia daremos 5 saltos a la derecha con lo cual llegaríamos al \(-2\) como se ve en la imagen.
3. Suma entre enteros negativos: esta suma la podemos reducir al primer caso, veámos como
   1. \((-4)+(-5)=(-(4+5))=-9 \)
   La igualdad anterior se da gracias a la propiedad distributiva y a la leyes de los signos, gráficamente lo podemos ver en la siguiente imagen:
   
   Como en los casos anteriores, lo podemos ver con saltos, tomando el cero de referencia damos \(4\) saltos a la izquierda del cero y llegamos a \(-4\), ahora tomando \(-4\) de referencia damos \(5\) saltos más a la izquierda con esto llegamos a \(-9\).
   2. \((-27)+(-15)=-(27+15)=-42\)
   3. \((-7)+(-95)=-(7+95)=-102\)
   Podemos ver que este caso se reduce al primero, basta sumar como en el primer caso (entre enteros positivos que a su vez son naturales) y cambiar su sentido.

En el último caso de la suma de los enteros decimos que las igualdades mostradas se dan por la propiedades distributiva ya vista y es así, solo que usualmente en la práctica le llamamos factorización.

Resta en lo enteros

La resta en los enteros se define como sigue: $$- :\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$ $$(m, n) \longmapsto m-n $$Lo que nos dice lo anterior es que la resta toma dos enteros \(m, n\) y nos devuleve otro entero \(m-n\).
Podemos ver que en realidad la resta no es más que una suma, lo cual se justifica en la siguiente igualdad en la cual utlizaremos leyes de los signos, sean \(a\) y \(b\) dos enteros entonces $$a-b = a+(-b)$$ Con esto reducimos a la resta a una suma, por lo cual cumple con las misma propidades que la suma, además cumple con la ley distributiva, es decir, la multiplicación se distribuye sobre la resta( es decir \(c(a-b)=ca-cb\)).

Ejemplos:

Veremos como reducir las siguientes restas a sumas.
a) \(249-17=249+(-17)\)
b) \(89-(-17)=89+(-(-17))=89+17\)
c) \(-18-(-320)=-18+(-(-320))=-18+320 \)
En los incisos a) y b) la última igualdad se da por leyes de los signos.

Hasta aquí hemos llegado con la suma y resta de los enteros en lo que sigue veremos el orden en lo número enteros.