Números naturales

Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar la cantidad de objetos que tiene un conjunto, en nuestro estudio consideramos al \(0\) como número natural, sin embargo, es totalmente válido no considerarlo(depende mucho del campo de estudio en el que nos encontremos). Denotamos a los naturales como: $$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$ Los números naturales están dotados de dos operaciones, la suma y la multiplicación.

La suma en los naturales se define como sigue: $$+ :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ $$(m, n) \longmapsto m+n $$Lo que nos dice lo anterior es que la suma toma dos naturales \(m, n\) y nos devuelve otro natural \(m+n\).

Propiedades:

Sean \(n, m, k\) números naturales, las propiedades de la suma en los números naturales son las siguientes:

1. Cerradura: La suma de dos números naturales siempre es otro número natural.
2. Conmutatividad: La suma de dos números naturales es invariante bajo el orden, es decir: $$m+n = n+m$$
3. Neutro: El neutro aditivo es el \(0\) y cumple que $$n+0 = n$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(0+n=n\) para todo número natural.
4. Asociativa: El orden de las sumas parciales en una operación con más de dos sumandos no afecta el resultado de la operación, es decir, $$(n+m)+k=n+(m+k)$$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos sumar dos números naturales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres sumandos, es necesario sumar primero dos de ellos y luego sumar el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una suma con cualquier número de sumandos.

La multiplicación(o producto) en los números naturales se define como sigue: $$\times : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ $$(m,n) \longmapsto n\times m $$ Lo que nos dice lo anterior es que la multiplicación(o producto) toma dos naturales \(m, n\) y nos devuelve otro natural \(m\times n\). La multiplicación(o producto) también suele denotarse por \(m\cdot n\) ó \((m)(n)\).

Propiedades:

Sean \(n, m, k\) números naturales, las propiedades de la multiplicación(o producto) en los números naturales son las siguientes:

1. Cerradura: El producto de dos números naturales es un número natural
2. Conmutatividad: El producto de dos números es invariante bajo el orden, es decir, $$m\cdot n = n\cdot m$$
3. Neutro: El neutro multiplicativo (o del producto) es el 1 y cumple que: $$m\cdot 1 = m$$Notemos que por la conmutatividad se cumple también que \(1\cdot m=m\) para todo número natural.
4. Asociativa: El orden de los productos parciales en una operación con más de dos multiplicandos no adecta el resultado de la operación, es decir, $$(n\cdot m)\cdot k = n\cdot (m\cdot k) $$ Esta propiedad es muy importante, ya que por definición solo podemos multiplicar dos números naturales a la vez, esta propiedad nos dice que si tenemos tres multiplicandos, es necesario multiplicar primero dos de ellos y luego multiplicar por el tercero. De hecho, esta propiedad se puede extender de tal manera que se puede hacer una multiplicación con cualquier número de multiplicandos.

En lo que sigue usualmente utilizaremos el término "producto" para referirnos a la multiplicación y la notación \(m\cdot n\) ó \((m)(n)\).

Propiedad distributiva

Dados tres números naturales \(m, n, k\) la multiplicación se distribuye bajo la suma, es decir, $$m(n+k) = m\cdot n + m\cdot k$$

Orden

En los números naturales nos gustaría comparar dos de sus elementos, tomemos dos números naturales \(m, n\), decimos que:

1. \(m\) menor que \(n\) si hay un número natural \(t\) distinto de \(0\) tal que \(m+t=n\) y lo denotamos por $$m < n$$
2. \(m\) menor o igual que \(n\) si hay un número natural \(t\) (no necesariamente distinto de \(0\)) tal que \(m+t=n\) y lo denotamos por $$m \leq n$$
3. \(m\) igual que \(n\) si el número \(t\) en la definición anterior es cero.
4. \(m\) mayor que \(n\) si \(n\) menor que \(m\) y lo denotamos por $$m>n$$
5. \(m\) mayor o igual que \(n\) si \(n\) menor o igual que \(m\) y lo denotamos por $$m \geq n$$

Exponenciación

Otra operación importante y muy utilizada es la exponenciación, definida por $$\cdot^{.} : \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ $$(m,n) \longmapsto m^n$$ $$(m,0) \longmapsto 1$$ La definición se ve un poco difícil, pero solo quiere decir que dado un número \(m\) lo tenemos multiplicar \(n-\)veces por si mismo. Algo que debemos notar es que un numero elevado al exponente \(0\) es 1.
Usualmente se trabaja con los exponentes \(2\) y \(3\):

• Cuando el exponente es \(2\), se dice que elevamos al cuadrado, es decir, \(m^2\) se lee como \(m\) al cuadrado, por ejemplo: \(10^2=10\cdot 10\), \(1127^2=1127\cdot 1127\) y \(13^2=13\cdot 13\).
• Cuando el exponente es \(3\), se dice que elevamos al cubo, es decir, \(m^3\) se lee como \(z\) al cubo, por ejemplo: \(10^3=10^2\cdot 10= 10\cdot 10\cdot 10\), \(1127^3=1127^2\cdot 1127=1127\cdot 1127\cdot 1127\) y \(13^3=13^2\cdot 13=13\cdot 13\cdot 13\)
• En general, decimos que elevamos a la cuarta, a la quinta, a la sexta, etc..., según sea el caso.
Ejemplos:

Corrobora si se cumplen o no las afirmaciones

1. \(1 < 8\)
   Solución: La afirmación es cierta, para que se cumpla la definición tenemos que encontrar un número natural \(t\) tal que \(1+t = 8\), proponemos \(t=7\), entonces $$1+t = 1+7 = 8$$ con lo que tenemos que en efecto \(1<8\).
2. \(9 \geq 3\)
   Solución:La afirmación es cierta, para que se cumpla la definición debemos ver que \(3\leq 9\) lo cual se cumple tomando \(t=6\)
Resta

La resta en los naturales se define como sigue: $$- :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ $$(m, n) \longmapsto m-n $$ Lo que nos dice lo anterior es que la resta toma dos naturales \(m, n\) y nos devuelve otro natural \(m-n\). Además para que nuestra definición de resta no se "rompa" se debe cumplir que m sea mayor que n(\(m\geq n\)). Es decir, las restas del tipo \(3-5\), \(10-100\), \(1-999\) no están definidas en los naturales.

Hasta aquí llegamos con los números naturales, también se cumplen las leyes de los exponentes en los números naturales, se deja como ejercicio investigar acerca de ello, ya que solo es una caso particular del producto.

En lo que sigue estudiaremos como es posible restar números sin ninguna restricción.