Conjuntos

La noción básica con la que vamos a trabajar es la de conjunto. Para nuestros fines, un conjunto es una colección de objetos(elementos) sin orden ni repeticiones. Por ejemplo:

• \(A=\{5, 6. 7\} \)
• \(B =\{\sqrt{2}, \sqrt{11} \}\)
• \(C=\){Juan, Pepe, Alberto}
• \(D=\{\sqrt{2}, \sqrt{11}, 3 \} \)

En estos ejemplos, los conjuntos son finitos, es decir, podemos decir explicítamente cual es el número de objetos que lo conforman, sin embargo también hay conjuntos infinitos, como lo son el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números reales.

Al conjunto que no tiene elementos le llamamamos conjunto vacío y lo denotamos por \(\varnothing\).

Una propiedad importante que tienen los conjuntos es que dado un elemento cualquiera se puede saber si está en el conjunto o no. Si \(a\) está en el conjunto \(A\) decimos que \(a\) pertenece a \(A\) y escribimos \(a \in A\). En caso contrario decimos que \(a\) no pertenece a \(A\) y escribimos \(a \notin A\). Por ejemplo:

• \(5\in A\) y \(10\notin A\)
• \(\sqrt{2}\in B\) y \(\sqrt{15}\notin B\)

Si \(A\) y \(B\) son dos conjuntos, decimos que \(A\) está contenido en \(B\), y escribimos \(A \subseteq B\), si todos los elementos del conjunto \(A\) pertenecen al conjunto \(B\). Por ejemplo, \(B\subseteq D\), pero \(D\nsubseteq B \) pues \(3\notin B\).

En los ejemplos anteriores, los conjuntos fueron definidos listando sus elementos. Esta manera de dar un conjunto se llama definición por extensión. Hay otra forma de hacerlo: por comprensión, que consiste en dar una propiedad que satisfacen sus elementos y sólo ellos. Por ejemplo:

• \(\{x\in B| x < 2\} = \{\sqrt{2}\}\)
• \(\{x\in C|\) la palabra empieze con J\(\} =\) {Juan}

Para nuestro estudio sólo mencionaremos algunos conjuntos, como el conjunto de los números naturales, enteros y demás, aunque utilizaremos ímplicitamente muchos más.

Operaciones entre conjuntos

• Unión
  Tomemos \(A, B\) dos conjuntos, definimos la unión de conjuntos como el conjunto \(A\cup B\) donde están los elementos de \(A\) o \(B\)
  Ejemplos
  1. Definamos \(A=\{ 1, 2, 4, 5\} \) y \(B=\{a,b, c, d, e\} \) entonces la unión es la siguiente: $$A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d, e\}$$ 2. Definamos \(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\), \(A\) el conjunto de los números impares en \(U\) y \(B\) el conjunto de los números pares en \(U\) entonces \(A\cup B = U\).
• Intersección
  Tomemos \(A, B\) dos conjuntos, definimos la intersección de conjuntos como el conjunto \(A\cap B\) donde están los elementos de \(A\) y \(B\)
  Ejemplos
  1. Definamos \(A=\{ 1, 2, 4, 5\} \) y \(B=\{a,b, c, d, e, 1, 2 \} \) entonces la intersección es la siguiente: $$A\cap B = \{1, 2\}$$ 2. Definamos \(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\), \(A =\{1, 3, 5, 7, 9\} \) y \(B = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) entonces \(A\cap B = \varnothing \).
  La intersección es \(\varnothing \) ya que no hay elementos que esten en ambos conjuntos al mismo tiempo.