Al estudiar de manera formal las matemáticas, vamos a enfrentarnos con distintos tipos de enunciados(vistos con anterioridad), nuestra obligación será demostrar cada uno de estos enunciados, usualmente los enunciados son del tipo:

Como hemos visto con anterioridad a este tipo de enunciados le llamamos condicionales o bicondicionales. Es importante notar que tanto \(P\) como \(Q\) son proposiciones simples o compuestas. En el caso de un enunciado condicional, a \(P\) lo conocemos como antecedente o hipótesis y a \(Q\) como el consecuente; es importante tener muy claras las hipótesis ya que esto es lo único que tendremos para proceder en la prueba.
Comencemos a explicar cada una de las formas de demostrar un enunciado.

Prueba que si \(P\) es tautología entonces \(¬(P\vee Q)\) es una contradicción.
Prueba:
Supongamos que \(P\) es una tautología, esto quiere decir que el valor de \(P\) siempre es \(V\) y por lo cual el valor de verdad de \(¬P\) siempre es \(F\), por otro lado, sabemos que \(¬(P\vee Q) = ¬P \wedge ¬Q \), como el valor de verdad de \(¬P\) siempre es \(F\) por la tabla de verdad de la conjunción, \(¬P \wedge ¬Q \) siempre tiene valor de verdad \(F\), por lo cual \(¬(P\vee Q) = ¬P \wedge ¬Q \) es una contradicción.

\(\blacksquare\)

Este tipo de prueba se usa a menudo, sin embargo, no es totalmente aceptada por algunas escuelas de pensamiento matemático. El fundamento de la validez de la prueba se sustenta en la equivalencia lógica \(¬(P\Rightarrow Q)\) y \(P \wedge ¬Q\).

1.- Sea A un conjunto cualquiera. Si \(A \subseteq \emptyset \), entonces \(A = \emptyset \).
Prueba
Como deseamos probarlo por contradicción, iniciamos por asumir que \(A \subseteq \emptyset \) pero que \(A \neq \emptyset \). De esta ultima suposición obtenemos que existe algún \(x \in A\). Como \(A \subseteq \emptyset\), por definición, \(x \in \emptyset\). Esto claramente es una contradicción pues \(\emptyset \) no tiene elementos.

\(\blacksquare\)

2.-Sea \(A\) un conjunto. Si para todo conjunto \(B\), \(A \cap B = \emptyset \), entonces \(A = \emptyset \).
Prueba
Para probarlo por contradicción, supongamos que para todo \(B\), \(A \cap B = \emptyset \), pero \(A \neq \emptyset\). Sea \(B = A\) y note que entonces \(A ∩ B = A \neq \emptyset \), lo cual contradice nuestra hipótesis. Por lo tanto, \(A = \emptyset\).

\(\blacksquare\)

Este tipo de prueba esta fundamentado en que \(P\Rightarrow Q\) es lógicamente equivalente a \(¬Q\Rightarrow ¬P\), también se le conoce como demostración por contrarreciproca. De hecho esta es una prueba directa.

Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos, si \(A\subseteq B\) entonces \(B^c \subseteq A^c\).

Supongamos que \(B^c \nsubseteq A^c\) entonces existe \(x\in B^c\) y \(x\notin A^c\), por definición del complemento de un conjunto \(x\notin B\) y \(x\in A\) entonces \(A \nsubseteq B\).

\(\blacksquare\)

Si \(n\in\mathbb{Z}\) entonces \(n^2+n+1\) es impar

Caso 1: supongamos que \(n\) es par entonces \(n^2\) es par pues el producto de pares es par, como la suma de pares es par se tiene que \(n^2+n\) es par, entonces se cumple que \(n^2+n+1\) es impar.
Caso 2: supongamos que \(n\) es impar entonces \(n^2\) es impar pues el producto de impares es impar, como la suma de impares es par se tiene que \(n^2+n\) es par, entonces se cumple que \(n^2+n+1\) es impar.
Como los dos casos son ciertos se cumple que para cualquier \(n\in \mathbb{Z}\), \(n^2+n+1\) es impar.

\(\blacksquare\)

Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".Para demostrar la falsedad de proposiciones de este tipo, basta exhibir un elemento que satisfaga la hipótesis de la proposición, pero que no satisfaga su conclusión. A dicho elemento se le conoce con el nombre de contraejemplo . No obstante que pueda haber muchos casos en los que sí se satisfaga la implicación, basta con uno solo en el que no ocurra, para asegurar que tales proposiciones son falsas.

Para todo \(a,b\in \mathbb{R}\) se cumple que \(|a+b|=|a|+|b|\)

Esta proposición es falsa, para mostrar esto debemos exhibir dos valores, uno para \(a\) y otro para \(b\) de tal manera que el enunciado no se cumpla. En efecto, tomando \(a=5\) y \(b=-3\) se tiene que: $$|5-3|=|2|=2\neq 8 = 5+3 = |5|+|-3| $$ Con lo que concluimos que la proposición es falsa.

Para finalizar cabe mencionar que también existe la demostración por inducción que consiste en trabajar en los numero naturales, por el momento no daremos ejemplos de este tipo de demostración pues se verá en temas posteriores.
Para demostrar una bicondicional se procede utilizando que \(P\Leftrightarrow Q \) es equivalente a \((P\Rightarrow Q)\wedge (Q\Rightarrow P ) \) y demostrando que ambas condicionales son verdaderas.