Noción de conjunto
A finales del siglo XIX Georg Cantor y Richard Dedekind cambiaron radicalmente la forma en la cual se concebían los conceptos matemáticos de número y de infinito. La noción de conjunto y el lenguaje que se desarrollo para investigarla permitieron que por primera vez estos dos conceptos fuesen descritos mediante una definición precisa y tomasen la forma con la cual se conciben actualmente dentro de las matemáticas. El lenguaje de la Teoría de los conjuntos se convirtió en el lenguaje universal para las matemáticas y no ha dejado de serlo hasta el día de hoy, por lo que su estudio y comprensión es indispensable.
Definición
Un conjunto es una colección de objetos, donde debe quedar totalmente claro cuando un objeto es miembro del conjunto y cuando no.
Definición
Si \(A\) es un conjunto y \(x\) es un objeto que pertenece a dicha colección, entonces diremos que el objeto \(x\) es un elemento del conjunto \(A\), o bien, que el objeto \(x\) pertenece al conjunto \(A\).
Notación:
Si el objeto \(x\) pertenece al conjunto \(A\) escribiremos \(x\in A\), por otro lado, si el objeto \(y\) no pertenece a \(A\) entonces escribimos \(y \notin A\).
Algunos conjuntos importantes- \(\mathbb{N}\): Representa al conjunto de los números naturales
- \(\mathbb{Z}\): Representa al conjunto de los números enteros
- \(\mathbb{I}\): Representa al conjunto de los números irracionales
- \(\mathbb{Q}\): Representa al conjunto de los números racionales
- \(\mathbb{R}\): Representa al conjunto de los números reales
- \(\mathbb{C}\): Representa al conjunto de los números complejos
Por lo regular denotamos a los conjuntos con letras mayúsculas como \(A,B,C\) y \(D\), a sus elementos con letras minúsculas. Sin embargo nos gustaría dar una descripción de los elementos de un conjunto y por supuesto que en el lenguaje matemático hay formas de hacerlo, las cuales exploramos a continuación:
Conjuntos por extensiónPodemos describir a un conjunto dando un listado de sus elementos. Cuando esto suceda diremos que el conjunto está dado por extensión. En este caso denotamos al conjunto enlistando a sus elementos dentro de un par de llaves y separados por comas.
Ejemplos:- \(\{1,2,3,4,5,6,7,1256\}\)
- \(\{\alpha,\beta, \gamma, \theta, \delta \}\)
- \(\{\)Juan, Karla, María, Juana, Luis, Bruno, Arnold, Miguel\(\}\)
Para esta forma de expresar conjuntos, los elementos del conjunto están determinados por un predicado \(P(x)\), es decir, los predicados evaluados en los elementos den como resultado una proposición verdadera, lo anterior lo denotamos como sigue: $$B = \{x |P(x)\text{ es verdadera} \}$$ y se lee como "Todos los \(x\) tal que \(P(x)\) es verdadera"
- \(\{n\in \mathbb{N} | n^2=n \}=\{0,1\}\)
- \(\{z\in \mathbb{Z} | z = 2k, k\in \mathbb{Z}\}\): conjunto de los números pares
- Denotemos a \(\mathbb{P}\) como el conjunto de los números primos entonces definimos el conjunto \(\{z\in \mathbb{Z} | z = 2k, k\in \mathbb{Z} \wedge z\in \mathbb{P} \}=\{2\}\)
