Cuantificadores universales y existenciales
El traducir del lenguaje natural al lenguaje formal es un trabajo muy complejo, con lo que hemos visto no nos es posible expresar mediante el lenguaje formal ciertas oraciones, por ejemplo, "\(x\) es un número par", pues no sabemos que valor toma \(x\). Para poder traducir oraciones como la anterior es necesario introducir un lenguaje un tanto distinto que también utilizará los conectivos lógicos ya presentados.
Las variables que usualmente denotamos por \(x , y , ...,\) con o sin subíndices,no tienen valores determinados. Existen expresiones en las que en su construcción aparecen una o más variables y a las que no se les puede asignar un valor de verdad. Por ejemplo, a la expresión \(x > - 1\) no se le puede asignar un valor de verdad puesto que no sabemos quién es \(x\). A este tipo de expresiones se les llama predicado. Sin embargo, dando valores específicos a \(x\), obtenemos una proposición que puede ser verdadera o falsa según sea el caso[1].
Ejemplos:-
\(P(x):\) \(x\) es hombre
Una proposición que nace de este predicado es "\(P\)(Newton) :Newton es un hombre" cuyo de valor es verdadero ya que estamos suponiendo de Newton es el físico y matemático Isaac Newton. -
\(P(n):\) \(n\) es par
Una proposición que nace de este predicado es "\(P(3):\) \(3\) es par" la cual es falsa pues \(3\) es impar. -
\(P(x):\) \(x>2\)
Una proposición que nace de este predicado es \(P(-1):\) \(-1>2\) el cual es totalmente falso.
Tomemos un predicado \(P(x)\), ¿qué pasa si queremos hablar de todos los \(x\) que cumplen que \(P(x)\) es verdadero? o ¿qué pasa si queremos hablar de que algunos \(x\) cumplen que \(P(x)\) es verdadero?, para esto existen los cuantificadores universales que son "para todo" cuyo símbolo asociado es \(\forall\) y "existe" cuyo símbolos asociado es \(\exists\), aunque si solo "existe un único elemento" \(x\) tal que \(P(x)\) es verdadero, basta con poner un símbolo de exclamación a la derecha del símbolo de existencia para denotar unicidad, es decir, \(\exists!\).
Negaciones de cuantificadores\(\forall\) y \(\exists\) están relacionados de la siguiente manera.
Tomemos un predicado \(P(x)\) y supongamos que para toda \(x\) \(P(x)\) es verdadero pero¿Qué pasa si negamos \(\forall xP(x)\)? entonces obtenemos que no para todo \(x, P(x)\) es verdadero, esto es equivalente a decir que existe un \(y\) tal que \(¬P(y)\) es verdadero y aquí tenemos la respuesta a la pregunta que nos planteamos
\(¬(\forall x P(x)) = \exists x (¬P(x)) \)De la misma manera podemos ver que:
\(¬(\exists x P(x)) = \forall x (¬P(x))\) Ejercicio:Utilizaremos la definición de límite para ejemplificar el tema, primero daremos la definición en palabras, luego se traducirá con cuantificadores y luego procederemos a negar la definición.
El límite de una función \(f(x)\), cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\) si y solo si para todo \(\varepsilon > 0 \), existe un \(\delta >0\); tal que para todo número real \(x\) en el dominio de la función, si \( 0<|x-c|<\delta \) entonces \( |f(x)-L|<\varepsilon \).La traducción con cuantificadores es la siguiente:
El límite de una función \(f(x)\), cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\) si y solo si
\(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists \delta >0\)\( \forall x\) (\(|x-c|<\delta \) \(\Rightarrow\) \( |f(x)-L|<\varepsilon \)).
Por último, la negación es la siguiente:
\(L\) no es límite de \(f(x)\) en \(c\) si y solo si
\(\exists \varepsilon > 0 \)\(\forall \delta>0 \)\(\exists x\)(\(|x-c|<\delta \) \(\wedge\) \( |f(x)-L|\geq \varepsilon \))