Conjunto universal y conjunto vacío
Cuando estamos hablando de conjuntos especcıficos, generalmente fijamos un conjunto universal. Este conjunto universal depende de la disciplina de estudio, se fija de antemano y esta formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interes.
- Si nos interesa estudiar las diferentes manos de Poker, entonces el conjunto universal serÌa el mazo de cartas.
- Cada palabra en el idioma español está formada por letras del abecedario, por lo que dicho abecedario sería el conjunto universal al estudiar las palabras desde la perspectiva de las letras que las conforman.
- Dentro de la música occidental cada acorde está formado por algunos elementos que se toman del conjunto universal de las notas de la escala bien temperada, que varÌa desde Do cero (16.35 Hz) hasta Si ocho (7902.13Hz).
Por ejemplo:
Denotaremos por \(\mathbb{U}\) a nuestro conjunto universo hablando estrictamente de conjuntos, es decir, todo conjunto \(A\) que tomemos debe cumplir que \(A \subseteq \mathbb{U}\).
A partir de aquí supondremos que todo conjunto esta contenido en \(\mathbb{U}\)
Definición:El conjunto vacío es aquel conjunto que carece de elementos. Lo denotamos por \(\varnothing\).
Proposición:
1.- El conjunto vacío es único
2.- El conjunto vacío esta contenido en cualquier conjunto \(A\subseteq \mathbb{U}\)
Prueba:
1.- Este inciso se deja como ejericio, se sugiere hacerlo por contradicción.
2.- Sea \(A\) un conjunto cualquiera y se debe probar que \(\varnothing \subseteq A\) lo que se traduce en probar que \(\forall x(x\in \varnothing \Rightarrow x\in A)\).
Sin embargo, que \(x\in \varnothing\) es falso para toda \(x\), pues \(\varnothing\) no tiene elementos. Por lo tanto, el condicional \(x\in \varnothing \Rightarrow x\in A\) es verdadero para toda \(x\).
Así, tenemos que \(\forall x(x\in \varnothing \Rightarrow x\in A)\) entonces \(\varnothing \subseteq A\).
\(\blacksquare\)
El hecho de que para todo conjunto \(A\), \(\varnothing \subseteq A\) es consecuencia directa de que el antecedente en el condicional es falso. A veces a este tipo de demostraciones se les denomina demostraciones por “vacuidad”.
En particular, si \(A\) es el conjunto vacío, tenemos que \(\varnothing \subseteq \varnothing \). Sin embargo, debe ser claro que \(\varnothing \notin \varnothing \), pues el vacío no tiene elementos, este es un claro ejemplo de que la contención y la pertenencia no son conceptos equivalentes.
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, usualmente cada conjunto se expresa como un círculo que se encuentra dentro de un rectángulo donde el rectángulo representa gráficamente a \(\mathbb{U} \), como se muestra a contunuación:
Notemos que el círculo amarillo representa a un conjunto \(A\) y el rectángulo gris representa a \(\mathbb{U}\).En lo que sigue del tema de conjuntos utilizaremos los diagramas de Venn.
