Igualdad de conjuntos y subconjuntos
Decimos que dos conjuntos \(A, B\) son iguales si tienen los mismos elementos, esto también lo podemos expresar mediante conectivos lógicos como a continuación se muestra:
\[A = B \iff ((x \in A \Rightarrow x \in B ) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in A))\]
De la definición anterior podemos decir que dos conjuntos \(A,B\) son distintos si hay un elemento que este en alguno y no este en otro, en términos de conectivos lógicos tenemos lo siguiente:
\[A \neq B \iff ((x \in A \wedge x \notin B ) \vee (x \in B \wedge x \notin A))\]
DefiniciónDados dos conjuntos \(A,B\) diremos que \(A\) es subconjunto de \(B\) si todo elemento de \(A\) es elemento de \(B\), en términos de conectivos lógicos tenemos lo siguiente:
\[\forall x(x\in A \Rightarrow x\in B )\]
Notación:
Si \(A\) es subconjunto de \(B\) lo denotaremos como \(A\subseteq B\).
De esta definición se desprende cuando \(A\) no esta contenido en \(B\), eso sucede cuando hay un elemento en A que no esta en B, en conectivos lógicos tenemos lo siguiente:
\[\exists x(x\in A \wedge x\notin B)\]
Notación:
Si \(A\) no esta contenido en \(B\) lo denotaremos como \(A\nsubseteq B\).
En resumen, si queremos ver que \(A \subseteq B\) tenemos que tomar un \(a \in A\) y probar que \(a\in B\), por el contrario si queremos probar que \(A \nsubseteq B\) tenemos que exhibir un \(a\in A\) tal que \(a\notin B\).
Proposición:
Sean \(A,B\) dos conjuntos. \(A=B\) sí y solo sí \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq B\)
Prueba
\(\Rightarrow]\) Supongamos que \(A=B\)
p.d.(por demostrar) \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\)
Veámos que \(A\subseteq B\), tomemos \(a\in A\), tenemos que ver que \(a\in B\), como por hipótesis \(A =B \) entonces \(a\in B\), por otro lado si tomamos \(b \in B\) tenemos que ver que \(b\in A\), lo cual sucede ya que por hipótesis \(A=B\).
Por lo tanto \(A\subseteq B\) y \(B \subseteq A\).
\(\Leftarrow]\) Supongamos que \(A\subseteq B\) y \(B \subseteq A\)
p.d. \(A=B\)
Para mostar que son iguales tenemos que ver que ambos tienen los mismos elementos.
Por hipótesis
\[\forall x(x\in A \Rightarrow x\in B )\] y \[\forall x(x\in B \Rightarrow x\in A )\]
La primera es la definición de que \(A\subseteq B\) y la segunda de que \(B\subseteq A\), pero esto nos dice que \(A\) y \(B\) tienen los mismos elementos, con lo cual tenemos que \(A=B\).
\(\blacksquare\)
Está proposición es muy importante ya que nos dice como proceder para demostrar que dos conjuntos son iguales, de hecho, a este procedimiento le llamamos prueba por doble contención
Propiedades de la contención- Todo conjunto esta contenido en si mismo, esto es que si \(A\) es un conjunto \(A\subseteq A\)
- Si \(A,B,C\) son conjuntos cualesquiera tales que \(A \subseteq B\) y \(B\subseteq C\) entonces \(A\subseteq C\)
- Este es un argumento muy simple por lo cual se queda como ejercicio ver por que se cumple.
- Supongamos que \(A \subseteq B\) y \(B\subseteq C\) entonces tomemos \(a\in A\), como \(A \subseteq B\) por hipótesis, entonces \(a\in B\), como \(B\subseteq C\) por hipótesis entonces \(a\in C\), entonces, si \(a\in A\) entonces \(a\in C\) por lo cual \(A\subseteq C\).
Prueba:
\(\blacksquare\)
