Complemento de un conjunto
Hasta el momento hemos hablado del concepto de conjunto y subconjunto, además hemos visto que existe un conjunto universal en el cual todos los conjuntos estan contenidos y un conjunto que carece totalmente elementos.Pero ahora se nos presenta otra pergunta, ¿cómo podemos expresar a los \(x \notin A\) donde \(A\) es un conjunto en términos de A?, en efecto hay un concepto para ello.
Definición:Sea \(A\) un conjunto cualquiera, definimos el complemento de \(A\) respecto a \(\mathbb{U}\) como:
$$ A^c = \{x\in \mathbb{U}| x\notin A \}$$
La representación del complemento de un conjunto se muestra en el siguiente diagrama de Venn.
En el diagrama podemos ver que el complento de \(A\) esta puesto de color rosa.
Teorema: Propiedades del complemento
1. \(\varnothing^c = \mathbb{U}\)
2. Para todo conjunto \(A\), \((A^c)^c=A \)
3. Sean \(A\) y \(B\) dos cunjuntos. Entonces \(A\subseteq B\) si y solo si \(B^c \subseteq A^c \)
4. Sean \(A\) y \(B\) dos cunjuntos. Entonces \(A= B\) si y solo si \(A^c= B^c \)
5. \(\mathbb{U}^c = \varnothing \)
Prueba
-
Se probará la igualdad por doble contención.
\( \subseteq ]\) Tomemos \(x\in \mathbb{U}\). Como \(x\notin \varnothing\) pues el vacío no tiene elementos. Así se tiene que \(x\in \mathbb{U}\) y \(x\notin \varnothing\), es decir, \(x\in \varnothing^c \). Por lo tanto \(\mathbb{U} \subseteq \varnothing^c\).
\(\supseteq ]\) Por definición \(\varnothing^c= \{x\in \mathbb{U} | x\notin \varnothing\} \), por lo que todos los elementos de \(\varnothing^c \) cumplen con ser elementos de \(\mathbb{U}\). Así \(\varnothing^c \subseteq \mathbb{U} \).
Por lo tanto \(\varnothing^c = \mathbb{U} \) -
Se probará de igual manera por doble contención.
\( \subseteq ]\) Sea \(x\in (A^c)^c\) entonces por definición de complemento \(x\notin A^c\). Sabemos que \(y\in A^c \iff (y\in \mathbb{U} \wedge y\notin A)\) entonces \(y\notin A^c \iff (y\notin \mathbb{U} \vee y\in A)\). Como \(x\notin A^c\), tenemos que \(x\notin \mathbb{U} \vee x\in A \). Pero si tenemos que \(x\in \mathbb{U} \) por lo que \(x\in A\). Así \((A^c)^c \subseteq A\).
\(\supseteq ]\) Sea \(x\in A\) entonces no es cierto que \(x\notin A\), por lo que \(x\notin A^c\), y así \(x\notin A^c\). Por lo tanto, \(x\in (A^c)^c\) y \(A\subseteq (A^c)^c\).
Por lo tanto \(A = (A^c)^c\).
\(\Rightarrow ]\)Supongamos que \(A\subseteq B\). Veámos que \(B^c\subseteq A^c \).
Sea \(x\in B^c\) entonces \(x\notin B\), por hipótesis \(A\subseteq B\) entonces \(x\notin A\) entonces \(x\in A^c\). Por lo tanto \(B^c \subseteq A^c\).
\(\Leftarrow ]\)Prueba por contradicción: Supongamos que \(A\nsubseteq B\). Veámos que \(B^c\nsubseteq A^c\).
Como \(A\nsubseteq B\) entonces \(\exists x\in A \) tal que \(x\notin B \) entonces \(x\notin A^c\) y \(x\in B^c\), como \(\exists x\in B^c\) y \(x\notin A^c \) entonces \(B^c \nsubseteq A^c\).-
Este inciso es inmediato del anterior, sabemos que dos conjuntos \(A,B\) son iguales sin \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\), una vez hecho esto podemos reescribir el inciso como:
Sean \(A\) y \(B\) dos cunjuntos. Entonces \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\) si y solo si \(B^c \subseteq A^c \) y \(A^c \subseteq B^c \) lo cual es cierto por el inciso anterior, entonces \(A=B \iff A^c = B^c\). - Sabemos por el inciso 1. que \(\varnothing^c = \mathbb{U}\) entonces \(\mathbb{U}^c = (\varnothing^c)^c =\varnothing \), la primera igualdad se sigue del inciso 4. la última igualdad se sigue del inciso 2., por lo tanto \(\mathbb{U}^c = \varnothing \).
\(\blacksquare \)
Por último pero no menos importante, el complemento es el equivalente al conectivo lógico de la negación, pues si tomamos un predicado \(P(x)\), en términos de \(P(x)\) el complemento de un conjunto que cumple \(P(x)\) es \(\{x\in \mathbb{U}| ¬P(x)\}\).
Más adelante, veremos que el complemento cumple con las propiedades de la negación lógica.
