Unión de conjuntos

En esta sección presentamos una operación entre conjuntos, la union, que forma un nuevo conjunto a partir de los elementos que tengan los dos conjuntos dados.

Definición:

Dados dos conjuntos \(A,B\subseteq \mathbb{U}\), definimos la unión de los conjuntos como el conjunto cuyos elementos pertenecen a \(A\), a \(B\) o a ambos. A este conjunto lo describimos mediante la notación: $$A \cup B := \{x\in \mathbb{U}| x\in A \vee x\in B\}$$ Usando los conectivos lógicos se tiene que: $$x\in A\cup B \iff (x\in A \vee x\in B)$$

La representación de la unión de un conjunto se muestra en el siguiente diagrama de Venn.

Propiedades de la unión

1. Para todo \(A\subseteq \mathbb{U} \), \(A\cup A=A\).
2. Para cualesquiera \(A,B,C\subseteq \mathbb{U} \) se tiene que \((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\).
3. Para cuales quiera \(A,B\subseteq \mathbb{U}\) se tiene que \(A\cup B = B \cup A\).
4. Para cualquier \(A \subseteq \mathbb{U}\) se tiene que \(A\cup \varnothing =A\).
5. Para cualesquiera \(A,B\subseteq \mathbb{U} \), \(A\cup B \subseteq A\) y \(A\cup B \subseteq B\).
6.- Para cualesquiera conjuntos \(A,B\subseteq \mathbb{U} \), \(A\subseteq B \) si y solo si \(A\cup B = B\).

Prueba:

1. Sea \(A\subseteq \mathbb{U}\) un conjunto cualquiera, veámos que se cumple que \(A\cup A= A\).
   Las proposiciones \(P, P\vee P\) son lógicamente equivalentes, entonces \(x\in A\ \iff x\in (A\cup A) \). Así tenemos que \(\forall x(x\in A\ \iff x\in (A\cup A)) \) con esto se tiene que \(A\subseteq A\cup A\) y \(A\cup A \subseteq A\). Con lo cual tenemos la igualdad.
2. Sean \(A,B,C\subseteq \mathbb{U} \) conjuntos cualesquiera, veámos que \((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\), es decir,

   $$\forall x(x\in (A\cup B)\cup C \iff x\in A\cup (B\cup C) )$$

   Por definición de unión

   \(x\in (A\cup B)\cup C\) si y solo si \(x\in A\cup B \vee x\in C\) si y solo si \((x\in A \vee x\in B) \vee x\in C \).

   Sabemos que las proposiciones lógicas se asocian bajo la disyunción ya que las proposiciones \((P\vee Q)\vee R\) y \(P\vee (Q\vee R) \) son lógicamente equivalentes, entonces:

   \(x\in (A\cup B)\cup C \) si y solo si \((x\in A \vee x\in B) \vee x\in C \) si y solo si \(x\in A \vee (x\in B \vee x\in C)\) si y solo si \(x\in A \vee x\in A\cup B\) si y solo si \(x\in A\cup (B\cup C)\)

   Por lo tanto \((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\).
3. Sean \(A,B\subseteq \mathbb{U} \) dos conjuntos cualesquiera, veámos que \(A\cup B = B \cup A \). Sabemos que las proposiciones conmutan bajo la unión ya que las proposiciones \(P\vee Q\) y \(Q\vee P \) son lógicamente equivalentes, entonces:

   \(x\in A \vee x\in B \) si y solo si \(x\in B \vee x\in A \)

   Con esto se tiene que para cualquier \(x\)

   \(x\in A\cup B \) si y solo si \(x\in B\cup A \)

   Por lo tanto \(A\cup B = B\cup A \).
4. Se probará esta propiedad por doble contención. Sea \(A\subseteq \mathbb{U}\) un conjunto.
   \(\subseteq ]\) Veámos que \(A\cup \varnothing \subseteq A \).
   Sea \(x\in A\cup \varnothing\) entonces por definición \(x\in A\) ó \(x\in \varnothing \), como el vacío no tiene elementos entonces \(x\in A\), con lo cual se tiene la contención.
   \(\supseteq ]\) Sea \(x\in A \), sabemos que \(P\Rightarrow P\vee Q \) es una tautología por lo que \(x\in A \Rightarrow x\in A \vee x\in \varnothing \) es cierto para toda \(x\), por lo tanto se cumple que \(A\subseteq A\cup \varnothing \).
   Con esto se concluye la igualdad.
5. Sean \(A,B \subseteq \mathbb{U}\) dos conjuntos, veámos que \(A\subseteq A\cup B \)
   Sea \(x\in A \) como \(P\Rightarrow P\vee Q \) es una tautología se tiene que \(x\in A \Rightarrow x\in A \vee x\in B\) es cierto para toda \(x\), por lo tanto se cumple que \(A\subseteq A\cup B\).
   Se prueba de manera análoga que \( B\subseteq A\cup B \).
6. Sean \(A,B\subseteq \mathbb{U} \) dos conjuntos cualesquiera.
   \(\Rightarrow ]\) Supongamos que \(A\subseteq B\), veámos que \(A\cup B=B\).
   \(\subseteq ]\) Sea \(x\in A\cup B\) entonces \(x\in A\) ó \(x\in B\). Tenemos dos casos:
   Caso 1: Si \(x\in A\) entonces, tenemos por hipótesis que \(A\subseteq B\), \(x\in B\).
   Caso 2: Si \(x\in B\) entonces \(x\in B\).
   En ambos casos obtenemos que \(x\in B\) por lo que \(A\cup B \subseteq B \).
   \(\supseteq ]\) Por el inciso anterior se da la segunda contención.
   Con lo cual se cumple la igualdad.
   \(\Leftarrow ]\) Supongamos que \(B=A\cup B\), veámos que \(A\subseteq B \).
   Sea \(x\in A\), sabemos que \(A\subseteq A\cup B \), por lo que \(x\in A\cup B\) pero como \(B=A\cup B\), \(x\in B\). Por lo tanto \(A\subseteq B \).
\(\blacksquare \)

Hasta aquí se han visto algunas de las propiedades de la unión, notemos que en su mayoría, la teoría recae en la equivalencia lógica de proposiciones utlizando la disyunción. En lo que sigue veremos como se relacionan la unión y la intersección.

Ejercicios para el lector

1. Prueba que para cualquier conjunto \(A\subseteq \mathbb{U}\) se cumple que \(A\cup A^c=\mathbb{U}\).