Relación entre unión e intersección
Hasta el momento hemos explorado dos operaciones binarias entre conjuntos que son la unión y la intersección, se nos ocurre preguntarnos como se relacionar entre sí,en esta sección veremos como se relacionan estar operaciones, es mediante las leyes de distributivas. Además veremos las Leyes de De Morgan para conjuntos.
El lema siguiente enlista las leyes distributivas entre la unión e intersección.
Lema
Para cualesquiera tres conjuntos \(A,B,C \subseteq \mathbb{U}\) se tiene que:
1. \((A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C) \)
2. \((A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C) \)
-
Sea \(x\in (A\cup B)\cap C\) si y solo si \(x\in (A\cup B)\wedge x\in C \) si y solo si \( (x\in A\vee x\in B )\wedge x\in C \) si y solo si \((P\vee Q)\wedge R \) y \((P\wedge R)\vee (Q\wedge R)\) son lógicamente equivalentes si y solo si \((x\in A \wedge x\in C)\vee (x\in B \wedge x\in C) \) si y solo si \((x\in A\cap C)\cup (x\in B\cap C) \) si y solo si \(x\in (A\cap C)\cup (B\cap C) \)
Lo cual nos da la igualdad de conjuntos.
Notemos que ya damos por hecho la equivalencia lógica. - Se deja el ejercicio al lector, es muy sencillo, ya que es análogo al anterior con una variación en la equivalencia lógica.
El siguiente lema nos dice que el complemento de una unión es la intersección de los complementos y que el complemento de la intersección es la union de los complemento, lo que conocemos como Leyes de Morgan.
Lema
Para cualesquiera \(A,B \subseteq \mathbb{U}\) se tiene que:
1. \((A\cup B)^c = A^c \cap B^c \)
2. \((A\cap B)^c = A^c \cup B^c \)
-
Sea \(x\in (A\cup B)^c\) si y solo si \(x\notin A\cup B \) si y solo si \(¬(x\in A \vee x\in B)\) si y solo si las proposiciones \(¬(P\vee Q)\) y \(¬P\wedge ¬Q \) son lógicamente equivalentes si y solo si \(x\notin A \wedge x\notin B \) si y solo si \(x\in A^c \wedge x\in B^c \) si y solo si \(x\in A^c\cap B^c\).
Lo cual nos da la igualdad de conjuntos. - Se deja el ejercicio al lector, es muy sencillo, ya que es análogo al anterior con una variación en la equivalencia lógica.